Zadanie nr 5515560
Rozwiąż równanie .
Rozwiązanie
Sposób I
Ponieważ oba składniki sumy są nieujemne, suma może być równa 0 tylko wtedy, gdy oba są 0. W szczególności
![√ -- √ -- 2x − √1--= 0 /⋅ 2 2 2x = 1 x = 1. 2](https://img.zadania.info/zad/5515560/HzadR0x.gif)
Łatwo sprawdzić, że dla drugi składnik również jest równy 0.
Sposób II
Przekształćmy podane równanie
![( )2 √ 2x − √1-- + |2x2 − 3x + 1| = 0 2 1 2x2 − 2x + --+ |2x2 − 3x + 1 | = 0 2 2 2 1- |2x − 3x + 1| = − 2x + 2x − 2 .](https://img.zadania.info/zad/5515560/HzadR2x.gif)
Aby zachodziło równanie postaci to musi być
i
. Samo rozwiązanie równania
może dawać niepoprawne rozwiązania, bo np. -3=-3 ale
, ważne jest sprawdzenie czy prawa strona jest nieujemna. Zamiast sprawdzać nieujemność prawej strony (co w naszej sytuacji jest dość kłopotliwe), można sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań. My postąpimy w ten drugi sposób.
![1 1 2x 2 − 3x+ 1 = − 2x2 + 2x − -- ∨ 2x2 − 3x + 1 = 2x2 − 2x + -- 2 2 4x 2 − 5x+ 3-= 0 ∨ x = 1- 2 2](https://img.zadania.info/zad/5515560/HzadR8x.gif)
Liczymy, ,
lub
. Można sprawdzić, że tylko dla
prawa strona jest nieujemna.
Dla ciekawskich wykresy prawej i lewej strony równania.
Odpowiedź: