Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6118858

Spośród wszystkich trapezów, w których iloczyn długości podstaw jest równy k , a pole jest równe S wybrano ten, który ma najdłuższą wysokość. Wykaż, że przekątne wybranego trapezu dzielą się na połowy.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez x i k x długości podstaw trapezu, a przez h jego wysokość.


PIC


Pole trapezu jest równe

 k 2 x-+-x- x-+--k- --2x--- S = 2 ⋅h = 2x ⋅h / ⋅x 2 + k 2x h = S⋅ -2----. x + k

Musimy teraz wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji

 2x f(x) = -2----- x + k

w przedziale (0 ,+∞ ) . Liczymy pochodną

 √ -- √ -- 2(x2 + k) − 2x ⋅2x 2k − 2x 2 − 2(x − k)(x + k) f′(x ) = -------2-----2-----= --2-----2-= --------2-----2------- (x + k) (x + k) (x + k)

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla  √ -- x ∈ (0 , k) i ujemna dla  √ -- x ∈ ( k ,+ ∞ ) . To oznacza, że funkcja f jest rosnąca w przedziale  √ -- (0, k⟩ i malejąca w przedziale  √ -- ⟨ k,+ ∞ ) . Najdłuższą wysokość otrzymamy więc dla  √ -- x = k .

Zauważmy teraz, że jeżeli x = √k-- , to druga podstawa trapezu ma długość

k k √ -- --= √---= k. x k

To z kolei oznacza, że trapez ten jest równoległobokiem, co w szczególności oznacza, że jego przekątne dzielą się na połowy.

Wersja PDF