Zadanie nr 4178871
Ułóż równanie kwadratowe, takie, by iloczyn pierwiastków równania był równy 4 oraz by suma odwrotności kwadratów jego pierwiastków była równa 2.
Rozwiązanie
Wyliczymy wartości wyrażeń i
, które na mocy wzorów Viète’a dają współczynniki
i
równania
![x2 − bx + c = 0,](https://img.zadania.info/zad/4178871/HzadR4x.gif)
którego rozwiązaniami są i
.
Mamy oraz
![1-- -1- x21-+-x22- (x1-+-x2)2-−-2x1x-2 2 = x2 + x 2= (x x )2 = 16 1 2 1 2 32 = (x1 + x2)2 − 8 2 (x1 + x2) =√ 40- √ --- x + x = 2 10 ∨ x + x = − 2 10 . 1 2 1 2](https://img.zadania.info/zad/4178871/HzadR8x.gif)
Zatem szukane równanie to lub
.
Powyżej znaleźliśmy przykład równania, o żądanych własnościach. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć wszystkie takie równania, to musimy odpowiedź przemnożyć przez dowolne (bo ta operacja nie zmienia pierwiastków równania).
Odpowiedź: lub