Zadanie nr 4254559
Zbadaj zbieżność ciągu .
Rozwiązanie
Podane wyrażenie powinno się kojarzyć z granicą typu do czegoś. Ponieważ jednak jest cosinus, który może być czasem dodatni, a czasem ujemny, granica ta raczej nie powinna istnieć. Spróbujemy to uzasadnić.
Musimy wskazać dwa podciągi, które mają różne granice. Jeżeli weźmiemy postaci
to
![nπ- cos 3 = cos 2kπ = 1](https://img.zadania.info/zad/4254559/HzadR3x.gif)
i mamy
![( ) --n-- ( ) ( ) n+ 1√n n+√1n- n n | 1 | n→lim+ ∞ 1 + --2---√--- = nl→im+∞ ( ( 1 + ----√1-) ) = e. n + n n+ n](https://img.zadania.info/zad/4254559/HzadR4x.gif)
Podobnie, dla dostajemy
![( )−n lim 1+ ----n√--- = e−1. n→ +∞ n2 + n](https://img.zadania.info/zad/4254559/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: Ciąg jest rozbieżny