Zadanie nr 7994857

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 149. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli oznaczymy najmniejszą z tych liczb przez to mamy równanie

n 2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 149 n 2 + n 2 + 2n+ 1+ n2 + 4n + 4 = 1 49 2 3n + 6n− 144 = 0 / : 6 1-2 2n + n − 24 = 0 Δ = 1 + 48 = 49 n = − 1− 7 = − 8 ∨ n = − 1+ 7 = 6.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy (bo liczby mają być naturalne!) i mamy n = 6 .

Sposób II

Tym razem oznaczmy szukane liczby przez n− 1,n,n + 1 . Przy takich oznaczeniach mamy znacznie prostsze równanie (bo skróci się ).

(n − 1)2 + n 2 + (n + 1 )2 = 149 n 2 − 2n + 1+ n2 + n2 + 2n + 1 = 14 9 2 3n = 147 / : 3 n 2 = 49.

Zatem n = 7 (ujemne rozwiązanie odrzucamy).
Odpowiedź: 6,7,8