Dla jakich wartości parametru k nierówność x^4+kx^2+1>0 jest... Zadania.info: losowe zadanie, Z parametrem, 3117921

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Wielomianowe

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Nierówności/Wielomianowe/Z parametrem

Zadanie nr 3117921

Dla jakich wartości parametru $k$ nierówność $4 2 x + kx + 1 > 0$ jest prawdziwa dla każdego $x ∈ R$ ?

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z wielomianem dwukwadratowym, podstawmy więc $x 2 = t$ .

f(t) = t2 + kt+ 1 > 0.

To co musimy ustalić, to kiedy nierówność ta jest spełniona dla wszystkich $t ≥ 0$ (bo takie wartości przyjmuje $t = x2$ ).

Sprawdźmy na początek kiedy ta parabola jest całkowicie powyżej osi $Ox$ .

2 0 > Δ = k − 4 = (k − 2)(k + 2) ⇒ k ∈ (− 2,2).

W postałych przypadkach parabola przecina oś $Ox$ i musimy ustalić w jakich punktach (czy na prawo od 0). Zauważmy, że pierwsza współrzędna paraboli to $− k 2$ , zatem dla $k ≤ − 2$ parabola ma na pewno dodatnie miejsce zerowe (a miała być powyżej osi dla $t ≥ 0$ ).

Zatem pozostaje przypadek $k ≥ 2$ . Wtedy wierzchołek paraboli jest na lewo od 0 i cała parabola będzie powyżej dodatniej pół-osi $Ox$ jeżeli $f(0) > 0$ . Daje to nam nierówność $1 > 0$ , która jest oczywiście zawsze prawdziwa.
Odpowiedź: $k ∈ (− 2,+ ∞ )$

Rozwiązanie

Losuj ponownie

Legalni bukmacherzy