Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2842513

Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego (wszystkie składniki szeregu są różne od zera)

 ( ) 2 ( ) 3 x2 −-4- x2-−-4- x2 −-4- 5 + 5 + 5 + ⋅⋅⋅ ≥ x+ 2.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy szereg geometryczny o ilorazie  x2−-4 q = 5 jest zbieżny. Rozwiązujemy nierówność

 | 2 | 2 1 > |q| = ||x-−--4|| = |x--−-4| / ⋅ 5 | 5 | 5 2 5 > |x − 4| 5 >x 2 − 4 > − 5 / + 4 2 9 >x > − 1 x ∈ (− 3,3).

Mamy dodatkowo w treści założenie, że wyrazy ciągu geometrycznego są niezerowe, więc dodatkowo x ⁄= ± 2 .

Teraz liczymy sumę szeregu

 ( ) 2 ( ) 3 x2-−-4- x2-−-4- x2-−-4- 5 + 5 + 5 + ⋅⋅⋅ = 2 2 --x-−54--- --x−5-4- x2 −-4- = x2−4 = 5−x-2+-4 = 9− x 2. 1 − 5 5

Pozostało więc rozwiązać nierówność

 x2 − 4 -------≥ x+ 2 9 − x2 ( ) (x + 2)(x − 2) x − 2 x2 + x− 11 0 ≥ ----x-2 −-9----+ (x+ 2) = (x + 2) x2 −-9 + 1 = (x+ 2)⋅ --x-2 −-9---

Zauważmy w tym miejscu, że założyliśmy wyżej, że x2 < 9 , więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności

0 ≤ (x+ 2)(x2 + x− 11).

Rozłóżmy jeszcze trójmian w drugim nawiasie.

Δ = 1 + 44 = 4 5 √ -- √ -- x = −-1−--3--5-≈ −3 ,9 lub x = −-1-+-3--5-≈ 2,9. 2 2

A zatem dana nierówność sprowadza się do

 ( √ --) ( √ --) 1-+-3--5- −-1-+-3--5- 0 ≤ (x+ 2) x + 2 x − 2

Jej rozwiązaniem jest zbiór

 ⟨ √ -- ⟩ ⟨ √ -- ) x ∈ −1-−-3---5,− 2 ∪ −1-+-3---5,+ ∞ . 2 2

W połączeniu z wcześniej trzymanymi warunkami na q , dostajemy zbiór rozwiązań:

 ⟨ √ -- ) x ∈ (−3 ,−2 )∪ −-1-+-3--5-,3 . 2

 
Odpowiedź:  ⟨ - ) −1+3√-5 x ∈ (− 3,− 2) ∪ 2 ,3

Wersja PDF