/Szkoła średnia/Nierówności/Z kropkami

Zadanie nr 9941166

Rozwiąż nierówność

1 1 1 1+ --+ -2-+ -3-+ ...≤ 2, x x x

gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze musimy sprawdzić kiedy szereg geometryczny z lewej strony nierówności jest zbieżny. Oczywiście musi być x ⁄= 0 . Ponadto jest to szereg o ilorazie q = 1x , więc musi być spełniona nierówność

| | ||1-||< 1 |x | 1 --- < 1 /⋅ |x | |x| |x | > 1 ⇐ ⇒ x ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

a1 1 x 2 ≥ ------= -----1 = ------ 1− q 1 − x x − 1 x x − 2 (x− 1) 2 − x 0 ≥ -----− 2 = ------------- = ------ / ⋅(− 1) x− 1 x − 1 x − 1 0 ≤ x−--2. x− 1

Przy założeniu x ⁄= 1 nierówność ta jest równoważna nierówności kwadratowej

0 ≤ (x− 2)(x − 1) x ∈ (− ∞ ,1)∪ [2,+ ∞ ).

W połączeniu z wcześniej otrzymanym warunkiem mamy więc

x ∈ (− ∞ ,−1 )∪ [2,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ [2 ,+ ∞ )

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie