Zadanie nr 6813451

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 2sin x− 7cos x− 5 = 0 należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Rozwiązanie

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy równanie zapisać w postaci

2 (1− cos2x) = 7cos x+ 5.

Po podstawieniu t = cosx mamy

2 2(1 − t ) = 7t + 5 2 2t + 7t+ 3 = 0 Δ = 49 − 24 = 25 − 7 − 5 − 7 + 5 1 t = ------- = − 3 ∨ t = ------- = − -. 4 4 2

Ponieważ t = co sx pierwsze rozwiązanie odrzucamy i mamy 1 cos x = − 2 , czyli w danym przedziale

π 2 π 4 x = π − -- = --π ∨ x = π + --= -π 3 3 3 3

Odpowiedź: 2 x = 3π lub 4 x = 3π