Zadanie nr 3405766
Wykaż, że jeżeli i
są takimi liczbami całkowitymi, że rozwiązania równania
są niezerowymi liczbami całkowitymi, to liczba
nie jest liczbą pierwszą.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczmy przez rozwiązania danego równania, to mocy wzorów Viète’a mamy
![{ x1 + x2 = −m x x = 1 − n . 1 2](https://img.zadania.info/zad/3405766/HzadR1x.gif)
Mamy stąd
![2 2 2 2 2 2 2 2 m + n = (−x 1 − x2) + (1− x1x2) = x1 + 2x1x 2 + x 2 + 1 − 2x 1x2 + x1x2 = = x21x22 + x21 + x22 + 1 = x 21(x22 + 1)+ (x22 + 1) = (x21 + 1)(x22 + 1).](https://img.zadania.info/zad/3405766/HzadR2x.gif)
Ponieważ z założenia są niezerowymi liczbami całkowitymi to powyższe wyrażenie jest iloczynem dwóch liczb całkowitych większych od 1. To oznacza, że
jest liczbą złożoną.