Zadanie nr 3618875

Znaleźć wszystkie macierze kwadratowe przemienne z macierzą [ ] 2 − 1 A = 3 − 1 .

Rozwiązanie

Szukamy macierzy która spełnia warunek

AX = XA .

Aby te mnożenia miały sens, macierz musi być wymiaru 2x2, czyli

[a b] X = c d

Ze wzoru na iloczyn macierzy mamy równanie

[ ] [ ] [ ] [ ] 2 − 1 ⋅ a b = a b ⋅ 2 − 1 [3 − 1 c d] [ c d 3 − 1] 2a − c 2b − d 2a + 3b −a − b 3a − c 3b − d = 2c + 3d −c − d ( | 2a− c = 2a + 3b ||{ 3a− c = 2c + 3d || 2b− d = −a − b |( 3b− d = −c − d (| c = − 3b ||{ 3a = 3c + 3d || 3b = d − a |( − 3b = c

Podstawiając w drugim równaniu c = − 3b można zobaczyć, że jest ono identyczne jak trzecie. Pozostaje nam więc

{ c = − 3b a = c + d

Możemy zatem wziąć dowolne i i mamy wtedy c = − 3b , a = − 3b + d .
Odpowiedź: [ ] − 3b+ d b − 3b d , b,d ∈ R