Zadanie nr 6776663

Rozwiąż nierówność

3x+ 1 3 + 2x -------≤ -------. 3 − x 3 + x

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną danej nierówności jest zbiór R ∖ {− 3,3 } . Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

0 ≤ 3-+-2x-− 3x-+-1-= (3-+-2x)(3-−-x-)−-(3x-+-1-)(3+--x) 3 + x 3− x (3+ x)(3− x) (9 + 3x − 2x2)− (3x2 + 10x + 3) − 5x2 − 7x + 6 0 ≤ --------------------------------- = --------------- 9− x2 9 − x2 5x 2 + 7x− 6 0 ≤ ----x2 −-9---.

Rozłóżmy teraz trójmian, który otrzymaliśmy w liczniku.

Δ = 72 + 4⋅5 ⋅6 = 49+ 120 = 16 9 = 132 x = −-7-−-13-= − 2 lub x = −-7-+-13-= -6-= 3. 10 10 10 5

Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci

( 3) 0 ≤ 5--x-−-5--(x-+-2). (x− 3)(x+ 3)

Przy założeniu x ⁄∈ {− 3,3} nierówność ta jest równoważna nierówności

( ) 3- 0 ≤ (x + 3)(x + 2) x− 5 (x − 3 ).

Zaznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu na osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności

⟨ ⟩ x ∈ (− ∞ ,− 3)∪ − 2, 3 ∪ (3,+ ∞ ) 5

Odpowiedź: ⟨ ⟩ x ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ − 2, 3 ∪ (3,+ ∞ ) 5