Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4034221

Rozwiązaniem nierówności  x 15 logp (x+ 1) ≤ 32 + 16 z niewiadomą x jest zbiór ⟨− 4,+ ∞ ) 5 . Wyznacz p .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Myślimy o wykresach obu stron. Wykres prawej strony jesteśmy w stanie dość dokładnie naszkicować – jest to wykres funkcji y = 32x przesunięty o 1156 do góry.

Zastanówmy się teraz jak może wyglądać wykres lewej strony. Jest to oczywiście wykres funkcji y = logpx przesunięty o jedną jednostkę w lewo. Gdyby p > 1 to logarytm dążyłby do − ∞ przy x zbliżającym się do -1, a więc na pewno rozwiązaniami podanej nierówności byłyby liczby dowolnie bliskie -1. Takich liczb jednak nie ma w zbiorze rozwiązań, więc musi być p < 1 . Teraz możemy naszkicować oba wykresy.


PIC


Widać teraz, że wykres funkcji logp (x + 1) jest poniżej wykresu funkcji y = 32x + 15 16 dokładnie na prawo od punktu przecięcia się tych wykresów. Z drugiej strony wiemy, że zbiorem rozwiązań jest przedział  4 ⟨− 5,+ ∞ ) . To oznacza, że wykresy muszą się przecinać dla x = − 4 5 . Sprawdźmy jaka jest wtedy wartość funkcji  x 15 y = 32 + 16 .

 x 15 − 4 15 ( 1) −4 15 −4 1 5 1 15 32 + ---= 32 5 + ---= 325 + ---= 2 + --- = ---+ ---= 1. 16 16 16 1 6 16 16

W takim razie dokładnie taką samą wartość w tym punkcie musi przyjmować funkcja y = lo gp(x + 1) . Wiemy jednak, że logp p = 1 , więc musimy mieć

 4- 1- p = − 5 + 1 = 5.

 
Odpowiedź: p = 1 5

Wersja PDF