Zadanie nr 3250570

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ ⟨0,2π ⟩ , które spełniają równanie

1 sin x+ cosx = -----. cos x

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ze względu na cosinus w mianowniku musimy oczywiście założyć, że x ⁄= π2-+ kπ , k ∈ Z . Przy tym założeniu przekształcamy równanie w sposób równoważny.

sin x + cos x = --1-- / ⋅cosx co sx sin x cosx + co s2x = 1

Sposób I

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

2 sin x cosx + co s x = 1 sin x cosx − (1 − co s2x) = 0 sin x cosx − sin2 x = 0 sin x(co sx − sinx ) = 0.

Widzimy teraz, że albo sin x = 0 , co w danym przedziale daje nam rozwiązania

x ∈ {0,π ,2π }

albo

cosx = sin x / : cosx sinx 1 = -----= tgx . cosx

Dodatkowo otrzymujemy więc rozwiązania

{ } π π 5π x ∈ 4-,π + -4 = 4-- .

W sumie równanie ma więc w danym przedziale 5 rozwiązań:

{ π 5π } x ∈ 0,--,π, ---,2π 4 4

Sposób II

Korzystamy ze wzorów na sin2x i cos 2x .

2 sin x cosx + cos x = 1 /⋅ 2 2 sin x cosx + 2 cos2x = 2 2 sin 2x + (2 cos x − 1) = 1 sin 2x + cos 2x = 1.

To równanie możemy rozwiązać na wiele różnych sposobów – polecam lekturę rozwiązania zadania nr 2489029. Jeden z najkrótszych sposobów, to skorzystanie ze wzoru na sinus sumy.