Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

 

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Matura z matematyki - wiarygodny test kompetencji?


15 stycznia 2011
obrazek
O wadach i zaletach aktualnej formy egzaminu maturalnego pisaliśmy już wiele razy, np. tu i tu, ale dostępny od kilku dni klucz oceniania próbnej matury zorganizowanej przez OKE Poznań poruszył mnie na tyle, że postanowiłem ponownie wrócić do tego tematu.

Zanim przejdziemy do sedna, pytanie kontrolne do czytelnika: ile pierwiastków ma równanie [math]? - a ile równanie [math]? Moja odpowiedź: każde ma jeden, odpowiedź OKE Poznań: pierwsze ma 10, a drugie ma 100.

Osoby przyzwyczajone do zadań szkolnych pewnie wzruszą ramionami, że to żadna nowość - typowy problem z interpretacją pierwiastków wielokrotnych - problem polega jednak na tym, że tego typu pytanie umieszcza się wśród zadań maturalnych i odpowiedź niezgodną z kluczem każe się utratą punktu, a to uważam jest godne napiętnowania.

Pierwiastki wielokrotne

Jest wiele poważnych powodów, aby mówić o pierwiastkach wielokrotnych wielomianów, wśród nich: zasadnicze twierdzenie algebry, wzory Viète'a oraz cały język teorii funkcji holomorficznych, czy też geometrii algebraicznej. Problem jednak polega na tym, że tematy te mają niewiele wspólnego z matematyką szkolną i pierwiastki wielokrotne wielomianów od zawsze budziły w szkole uzasadnioną konsternację.

Tak naprawdę, na poziomie szkoły średniej jedynym uzasadnieniem dla liczenia pierwiastka równania [math] podwójnie jest to, że przy takiej interpretacji wzory Viète'a pozostają prawdziwe również w przypadku [math]. Ale dokładnie tak należy to traktować: jest to trick pozwalający nadać interpretację wzorom Viète'a w przypadku [math] - równanie [math] ma dalej jeden pierwiastek - po prostu na użytek wzorów Viète'a musimy liczyć go podwójnie. Zresztą jest to zgodne z formalną definicją pierwiastków wielokrotnych - równanie [math] nie ma dwóch równych pierwiastków, ale ma jeden pierwiastek podwójny.

Osobom, które nadal nie czują się przekonane proponuję wypisać zbiór rozwiązań równania [math] i policzyć ile ma on elementów.

Zadanie 8

A teraz do rzeczy: zadanie 8 z tegorocznej próbnej matury zorganizowanej przez OKE w Poznaniu polegało na wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania [math] jest większa od 1. Po zrobionym przeze mnie wstępie łatwo się domyślić, że autorzy klucza rozwiązują to zadanie korzystając ze wzorów Viète'a przy założeniu [math]. To prowadzi do rozwiązania [math]. Wartość [math] odpowiada dokładnie sytuacji [math] i jak łatwo sprawdzić mamy wtedy równanie [math]. Pytanie brzmi: czy suma odwrotności pierwiastków tego równania jest większa od 1? Moim zdaniem nie, bo jest równa 1 - zdaniem OKE Poznań odpowiedź brzmi: tak, jest. Dlaczego? - dlatego, że schematycznie stosują wzory Viète'a i liczą jedynkę podwójnie. Co gorsza, odpowiedź [math] jest karana utratą punktu.

Jeszcze jeden argument dla wciąż nieprzekonanych. Wspomniane zadanie można rozwiązać w ogóle nie korzystając ze wzorów Viète'a - wystarczy skorzystać ze wzorów na pierwiastki. Przy takim podejściu jest naturalne rozpatrzenie osobno sytuacji [math] i pytanie brzmi: z jakich powodów mamy w takiej sytuacji traktować pierwiastek równania [math] podwójnie?

Kto ma rację? - ja uważam, że ja - OKE Poznań pewnie uważa, że OKE Poznań. Problem polega jednak na tym, że tego typu dylematy nie powinny się zdarzyć na egzaminie maturalnym (nawet próbnym) - najważniejszy błąd to umieszczenie takiego zadania w zestawie, kolejny błąd to usztywnienie klucza wykluczające alternatywną (moim zdaniem poprawną) odpowiedź.

Zero za brak schematu

Tak naprawdę w opisanym zadaniu 8 jest coś, co poruszyło mnie jeszcze bardziej niż opisana nieścisłość - według zaleceń klucza, jeżeli uczeń nie napisze, że musi być [math] (czyli, że mamy równanie kwadratowe), to automatycznie otrzymuje za całe zadanie 0 punktów (na 5 możliwych)! Tego już kompletnie nie rozumiem - oczywiście brak założenia [math] jest drobnym mankamentem, ale żeby takie głupstwo dyskwalifikowało całe rozwiązanie? To jest właśnie geneza tytułu tego artykułu - czy taki sposób punktowania pozwala wiarygodnie ocenić ucznia piszącego egzamin? - co fakt pominięcia założenia [math] mówi o zdolnościach/umiejętnościach matematycznych ucznia? - moim zdaniem mówi bardzo niewiele.

Oceniając w tym duchu rozwiązanie wzorcowe zawarte w kluczu, muszę z żalem stwierdzić, że należy się za nie 0 punktów.

Premiowanie średniaków

Na ile istotne są przytoczone problemy? - dla słabego i średniego ucznia nie są bardzo istotne - uczeń taki myśli schematami, więc pewnie grzecznie (=bez większego zastanowienia) napisze wzory Viète'a i liczy. Problem mogą za to mieć uczniowie dobrzy, którzy zastanawiają się nad tym co piszą, a często też rozwiązują zadania niestandardowo. Takich uczniów klucz zrówna w dół.

W tym kontekście trudno nie wspomnieć błędów w zadaniach maturalnych w 2008 roku - wtedy też błędy dotknęły dobrych uczniów - średni i słabi nawet nie zauważyli, że coś jest nie tak. Zresztą dokładnie taki był komentarz CKE do błędów - tłumaczono wtedy, że 'statystyczny uczeń' wie jaki ma zastosować schemat, nawet jeżeli zadanie jest bez sensu; a dobry uczeń...? - takich nie ma wielu, więc nie zmieniają znacząco błędu pomiaru.

Zamiatanie pod dywan

Jest jeszcze jeden przykry aspekt całej sprawy - mianowicie sposób reakcji CKE/OKE na własne błędy:

  1. dogmat o nieomylności: przypomnijmy, że nawet w przypadku ewidentnego błędu na Maturze 2008, wytykanego niezależnie przez wielu nauczycieli i pracowników naukowych, CKE do końca twierdziła, że wszystko jest w porządku. W sumie trudno się dziwić - chyba nikt jest w stanie sobie wyobrazić jaki bałagan organizacyjny wywołałaby potrzeba powtórzenia egzaminu maturalnego. Jest to jednak pułapka, bo odcina to możliwości otwartej dyskusji o sposobie organizacji egzaminów maturalnych.
  2. ograniczanie transparentności działań ważną lekcją jaką wyciągnęła CKE z awantur medialnych wokół błędów w maturach jest to, że należy publikować tak mało jak się tylko da. Odeszły do historii czasy, gdy w dniu matury można było zobaczyć klucz rozwiązań. CKE nie publikuje już też arkuszy matur poprawkowych, co nota bene zdaje się jest niezgodne z prawem - w ubiegłym roku do publikacji tych arkuszy zmusiła CKE interpelacja poselska.
    Nawet opisywany tu arkusz próbnej matury organizowanej przez OKE Poznań rozpoczyna się od groźnego nagłówka: Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej formie poza wykorzystaniem jako ćwiczeniowego/diagnostycznego w szkole. Nie zapominajmy jednak, że CKE/OKE są instytucjami publicznymi decydującymi o losie setek tysięcy maturzystów i jakby się nie broniły będą zawsze podlegać publicznej uwadze i ocenie.

Burza w szklance wody

Cytując Gombrowicza koniec i bomba, a kto czytał ten trąba. I coś w tym jest - tak naprawdę od lat obserwuję ewolucję egzaminu maturalnego i szczerze mówiąc zmienia się on na lepsze. Na przykład, pomijając tę wpadkę z zadaniem 8, opisywany klucz oceniania jest dość sensowny. Sensowny wydaje się też pomysł utworzenia bazy zadań maturalnych - wyprowadzenie procedury przygotowywania zadań poza wąskie grono ekspertów powinno dać długo oczekiwany powiew świeżości.

Tak więc traktujcie gorzki wydźwięk tego artykułu raczej jako łyżkę dziegdziu w beczce miodu niż na odwrót.

Komentarze (15)

robbo, 16 sty 2011, 09:16

Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??

Johny94, 16 sty 2011, 10:21

1. Dwa rozwiązania: x=1 lub -1
2. Jedno rozwiązanie: x=0
3. Jedno rozwiązanie: x=0

robbo, 16 sty 2011, 11:26

Małe wyjaśnienie - przykłady są podchwytliwe jeżeli uważamy (tak jak OKE), że równanie \(x^4=0\) ma 4 rozwiązania.

kwoch, 16 sty 2011, 20:01

Dla tych co bazują tylko na nowych podręcznikach, a myślą że stare są do kosza (bo podstawa programowa itp. ) polecam spojrzeć na: Alicja Cewe, Halina Nahorska- matura zbiór zadań, część I, strona 16, zadanie 70( a propos zadania 8... hmm...). I polecam jednak wszystkim, który przygotowują się do matury rozszerzonej wstęp do antykwariatu i zakup starszego typu wydawnictw.

MrVonzky, 16 sty 2011, 22:38

a czy poprawne jest napisanie, że równanie ma 10rozwiązań w dziedzinie zespolonej?

Galen, 16 sty 2011, 22:45

Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.

snajpy, 22 sty 2011, 08:47

Witam Serdecznie!

Wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania \((2m+1)x-(m+3)x+(2m+1)=0\) jest większa od 1.

Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek ;) Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa :)

Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie.

Pozdrawiam
MD

robbo, 27 sty 2011, 20:25

snajpy pisze: Warunek na to by \((2m+1) \neq 0\) jest KONIECZNY bo od kiedy to funkcja liniowa ma pierwiastki ? Z tego co mi wiadomo ma pierwiastek ;) Zatem aby powyższa funkcja miała pierwiastki musi być kwadratowa :) Nikt nie twierdzi, że ten warunek jest niepotrzebny - ale 0 punktów za jego brak jest bez sensu.

Poza tym Twoja argumentacja jest dziwna: Twoim zdaniem równanie x=1 ma rozwiązania, czy nie? Co do pierwiastków i rozwiązań: \((x-1)^2 = 0\) ma dwa pierwiastki, ale jedno rozwiązanie. Mylisz się, ma jeden pierwiastek (podwójny) i jedno rozwiązanie.

irena, 27 sty 2011, 21:04

Galen pisze:Zawsze przy takich zadaniach szukam,czy jest napisane dwa RÓŻNE pierwiastki.
I czasem nie mam rozwiązania zgodnego z odpowiedzią w książce,bo tu nie ma jednoznacznej interpretacji.
To prawda. Ja pamiętam, że dwa pierwiastki, znaczyło kiedyś dwa różne pierwiastki. Cieszę się, że robbo napisał, że to równanie ma jeden pierwiastek, tyle, że podwójny. Ale, niestety, różne podręczniki różnie to traktują...

snajpy, 02 lut 2011, 22:55

Witam Serdecznie!

Chciałbym sprostować i wyjaśnić :)
Funkcja kwadratowa ma 2 pierwiastki wtedy i tylko wtedy gdy \(\Delta \ge 0\)

1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa różne pierwiastki
2. \(\Delta = 0\) wtedy są dwa takie same pierwiastki - pierwiastek podwójny \(x_1 = x_2\)

N-krotny pierwiastek oznacza, że występuje on n razy.
Tak samo jest z wygraną. Wygrana to 1000zł. Dostajemy podwójną wygraną - czyli 2 x po 1000zł, a nie 1000zł ;)

Funkcja kwadratowa ma natomiast rozwiązania:
1. \(\Delta > 0\) wtedy są dwa rozwiązania
2. \(\Delta = 0\) wtedy jest jedno rozwiązanie
3. \(\Delta < 0\) wtedy nie ma rozwiązania

Nie wiem na jakiej Państwo się literaturze opieracie, ale dla mnie jest to oczywista - oczywistość.
Jeśli dysponują Państwo jakąś literaturą, która mówi inaczej to proszę się podzielić tytułem i autorem ;)

Pozdrawiam
MD

robbo, 03 lut 2011, 10:04

Proszę bardzo: S. Lang, Algebra, strona 123 Liczbę b nazywamy pierwiastkiem lub zerem wielomianu f, jeżeli f(b)=0 Jakie są pierwiastki wielomianu \(f(x)=(x-1)^2\)? - jest jeden x=1.

Ta sama książka strona 132 Liczbę m nazywamy krotnością pierwiastka a wielomianu f, jeżeli f dzieli się przez \((x-a)^m\) i nie dzieli się przez \((x-a)^{m+1}\) W myśl tej definicji pierwiastek równania \((x-1)^2\) jest pierwiastkiem 2-krotnym. Nie oznacza to jednak, że to równanie ma dwa pierwiastki - nie, ma jeden 2-krotny.

Mówiąc bardziej po ludzku: krotność pierwiastka to jest dodatkowa cecha, którą można przypisać pierwiastkom wielomianów, ale cecha ta nie zmienia zbioru rozwiązań równania. Równania \(x-2=0\) i \((x-2)^2\) mają dokładnie takie same zbiory rozwiązań/pierwiastków. Natomiast pierwiastki te różnią się krotnościami. Formalnie całą sytuację bardzo porządkuje język dywizorów, ale to bardzo nas oddala od matematyki szkolnej.

W tym co piszesz popełniasz co najmniej dwa błędy
- odróżniasz pierwiastki od rozwiązań równania, a to jest jedno i to samo
- liczysz elementy zbioru {1,1} podwójnie, a przecież to jest zbiór jednoelementowy

Jeżeli nadal Cię nie przekonałem, to spróbuj odpowiedzieć na następujące trzy pytania:
- podaj definicję pierwiastka równania i rozwiązania równania, żeby można było stwierdzić, że to dwie różne rzeczy
- podaj formalną definicję zbioru pierwiastków równania f(x)=0, która pozwala stwierdzić, że równanie \((x-1)^2=0\) ma dwa pierwiastki
- zastosuj wymyśloną wyżej definicję do równań \(x^{\frac{4}{3}}=0\) i \(x^{\frac{8}{6}}=0\) i daj znać ile mają one rozwiązań.

ps.1 Jeżeli spojrzysz na swój ostatni post, to jest on trochę nieelegancki - żądasz dowodów z literatury, a sam swoją wypowiedź argumentujesz 'oczywistą oczywistością' - w ten sposób trudno Ci będzie kogoś przekonać do swoich argumentów.

ps.2 Jak już kilka razy pisałem sprawa krotności pierwiastków jest dość delikatna i tak naprawdę pojawia się w szkole tylko z jednego powodu: wzorów Viete'a. Z tego powodu jest naturalne, że problem ten jest sztuczny zarówno dla uczniów jak i nauczycieli - problemem jest jednak to, że eksperci OKE tego nie rozumieją i sami popełniają błędy. Powtórzę raz jeszcze: tego typu wątpliwości nie powinny mieć miejsca przy okazji zadań maturalnych.

snajpy, 08 lut 2011, 03:03

Przepraszam, że tak bez przykładów i odniesień do literatury przekazałem moje spostrzeżenia:

Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]

Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)

Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.

Pozdrawiam
MD

robbo, 14 lut 2011, 13:52

snajpy pisze: Proszę spojrzeć na:
http://kms.ue.poznan.pl/bartkowiak/mate ... omiany.pdf

Podstawowe twierdzenie algebry.
Dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków
zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność)
Właśnie dlatego w nawiasie jest dopisek jak należy liczyć pierwiastki, bo to nie jest w żaden sposób 'oczywiste'. Zresztą w książkach algebraicznych zazwyczaj zasadnicze twierdzenie algebry formułuje się ostrożniej: każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek. A jeżeli już koniecznie chce się napisać o całkowitej liczbie pierwiastków, to można to zrobić tak jak np. tu:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Zasadnicze ... ie_algebry http://reference.wolfram.com/mathematic ... Roots.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=CountRoots[+(x-1)^17,+{x,+0,+1}]
Oprogramowanie Wolfram to jeden z najbardziej zaawansowanych silników matematycznych, który wykorzystuje
prawa i twierdzenia matematyczne. Korzysta tutaj z zasadniczego twierdzenia algebry. Oczywiście nie jest to poziom
szkoły średniej.
Tu nie ma żadnej sprzeczności, ta funkcja po prostu liczy krotności pierwiastków - to nie ma nic wspólnego z samą definicją pierwiastka. Nie zajmuję się zawodowo algebrą, ale metodami numerycznymi. Pamiętam, że w liceum mój matematyk
rozróżniał dwa różne pierwiastki i dwa takie same pierwiastki.
No bo wszyscy tak robią - ja też. Pisałem nawet dlaczego - to jest wygodne do wzorów Viete'a. Trzeba jednak pamiętać, że to jest tylko taki trick na użytek tej sytuacji.

kamil13151, 20 lip 2011, 17:55

W zbiorze Kiełbasy jest też np. Jeśli trójmian ma jeden pierwiastek \(x_0\), to \(y=a(x-x_0)^2\), a więc CKE robi sobie w ciu*a, gdzie *=l. :x

matirafal, 17 sty 2013, 11:56

robbo pisze:Link do artykułu

Jeszcze kilka mniej, lub bardziej podchwytliwych pytań związanych związanych z krotnościami pierwiastków:
Ile rozwiązań mają równania:
\(x^{10}=1\\x^{\frac{4}{3}}=0\\(\sqrt{x})^4=0\)
\((\sin x)^2=0\) w przedziale \(\langle0,\frac{\pi}{2})\) ??
Pierwsze pytanie jakie bym zadał, to proszę o podanie zbioru w jakim operujemy.

lDodaj nowy komentarzl