Matura z matematyki - wiarygodny test kompetencji?

Zanim przejdziemy do sedna, pytanie kontrolne do czytelnika: ile pierwiastków ma równanie \(x^{10}=0\)? - a ile równanie \(x^{100}=0\)? Moja odpowiedź: każde ma jeden, odpowiedź OKE Poznań: pierwsze ma 10, a drugie ma 100.

Osoby przyzwyczajone do zadań szkolnych pewnie wzruszą ramionami, że to żadna nowość - typowy problem z interpretacją pierwiastków wielokrotnych - problem polega jednak na tym, że tego typu pytanie umieszcza się wśród zadań maturalnych i odpowiedź niezgodną z kluczem każe się utratą punktu, a to uważam jest godne napiętnowania.

Pierwiastki wielokrotne

Jest wiele poważnych powodów, aby mówić o pierwiastkach wielokrotnych wielomianów, wśród nich: zasadnicze twierdzenie algebry, wzory Viète'a oraz cały język teorii funkcji holomorficznych, czy też geometrii algebraicznej. Problem jednak polega na tym, że tematy te mają niewiele wspólnego z matematyką szkolną i pierwiastki wielokrotne wielomianów od zawsze budziły w szkole uzasadnioną konsternację.

Tak naprawdę, na poziomie szkoły średniej jedynym uzasadnieniem dla liczenia pierwiastka równania \((x-a)^2=0\) podwójnie jest to, że przy takiej interpretacji wzory Viète'a pozostają prawdziwe również w przypadku \(\Delta=0\). Ale dokładnie tak należy to traktować: jest to trick pozwalający nadać interpretację wzorom Viète'a w przypadku \(\Delta=0\) - równanie \((x-a)^2=0\) ma dalej jeden pierwiastek - po prostu na użytek wzorów Viète'a musimy liczyć go podwójnie. Zresztą jest to zgodne z formalną definicją pierwiastków wielokrotnych - równanie \((x-a)^2\) nie ma dwóch równych pierwiastków, ale ma jeden pierwiastek podwójny.

Osobom, które nadal nie czują się przekonane proponuję wypisać zbiór rozwiązań równania \(x^{100}=0\) i policzyć ile ma on elementów.

Zadanie 8

A teraz do rzeczy: zadanie 8 z tegorocznej próbnej matury zorganizowanej przez OKE w Poznaniu polegało na wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania \((2m+1)x^2-(m+3)x+(2m+1)=0\) jest większa od 1. Po zrobionym przeze mnie wstępie łatwo się domyślić, że autorzy klucza rozwiązują to zadanie korzystając ze wzorów Viète'a przy założeniu \(\Delta\geq 0\). To prowadzi do rozwiązania \(m\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right\rangle\). Wartość \(m=\frac{1}{3}\) odpowiada dokładnie sytuacji \(\Delta=0\) i jak łatwo sprawdzić mamy wtedy równanie \((x-1)^2=0\). Pytanie brzmi: czy suma odwrotności pierwiastków tego równania jest większa od 1? Moim zdaniem nie, bo jest równa 1 - zdaniem OKE Poznań odpowiedź brzmi: tak, jest. Dlaczego? - dlatego, że schematycznie stosują wzory Viète'a i liczą jedynkę podwójnie. Co gorsza, odpowiedź \(m\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\) jest karana utratą punktu.

Jeszcze jeden argument dla wciąż nieprzekonanych. Wspomniane zadanie można rozwiązać w ogóle nie korzystając ze wzorów Viète'a - wystarczy skorzystać ze wzorów na pierwiastki. Przy takim podejściu jest naturalne rozpatrzenie osobno sytuacji \(\Delta=0\) i pytanie brzmi: z jakich powodów mamy w takiej sytuacji traktować pierwiastek równania \((x-1)^2\) podwójnie?

Kto ma rację? - ja uważam, że ja - OKE Poznań pewnie uważa, że OKE Poznań. Problem polega jednak na tym, że tego typu dylematy nie powinny się zdarzyć na egzaminie maturalnym (nawet próbnym) - najważniejszy błąd to umieszczenie takiego zadania w zestawie, kolejny błąd to usztywnienie klucza wykluczające alternatywną (moim zdaniem poprawną) odpowiedź.

Zero za brak schematu

Tak naprawdę w opisanym zadaniu 8 jest coś, co poruszyło mnie jeszcze bardziej niż opisana nieścisłość - według zaleceń klucza, jeżeli uczeń nie napisze, że musi być \(2m+1\neq 0\) (czyli, że mamy równanie kwadratowe), to automatycznie otrzymuje za całe zadanie 0 punktów (na 5 możliwych)! Tego już kompletnie nie rozumiem - oczywiście brak założenia \(2m+1\neq 0\) jest drobnym mankamentem, ale żeby takie głupstwo dyskwalifikowało całe rozwiązanie? To jest właśnie geneza tytułu tego artykułu - czy taki sposób punktowania pozwala wiarygodnie ocenić ucznia piszącego egzamin? - co fakt pominięcia założenia \(2m+1\neq 0\) mówi o zdolnościach/umiejętnościach matematycznych ucznia? - moim zdaniem mówi bardzo niewiele.

Oceniając w tym duchu rozwiązanie wzorcowe zawarte w kluczu, muszę z żalem stwierdzić, że należy się za nie 0 punktów.

Premiowanie średniaków

Na ile istotne są przytoczone problemy? - dla słabego i średniego ucznia nie są bardzo istotne - uczeń taki myśli schematami, więc pewnie grzecznie (=bez większego zastanowienia) napisze wzory Viète'a i liczy. Problem mogą za to mieć uczniowie dobrzy, którzy zastanawiają się nad tym co piszą, a często też rozwiązują zadania niestandardowo. Takich uczniów klucz zrówna w dół.

W tym kontekście trudno nie wspomnieć błędów w zadaniach maturalnych w 2008 roku - wtedy też błędy dotknęły dobrych uczniów - średni i słabi nawet nie zauważyli, że coś jest nie tak. Zresztą dokładnie taki był komentarz CKE do błędów - tłumaczono wtedy, że 'statystyczny uczeń' wie jaki ma zastosować schemat, nawet jeżeli zadanie jest bez sensu; a dobry uczeń...? - takich nie ma wielu, więc nie zmieniają znacząco błędu pomiaru.

Zamiatanie pod dywan

Jest jeszcze jeden przykry aspekt całej sprawy - mianowicie sposób reakcji CKE/OKE na własne błędy:

1. dogmat o nieomylności: przypomnijmy, że nawet w przypadku ewidentnego błędu na Maturze 2008, wytykanego niezależnie przez wielu nauczycieli i pracowników naukowych, CKE do końca twierdziła, że wszystko jest w porządku. W sumie trudno się dziwić - chyba nikt jest w stanie sobie wyobrazić jaki bałagan organizacyjny wywołałaby potrzeba powtórzenia egzaminu maturalnego. Jest to jednak pułapka, bo odcina to możliwości otwartej dyskusji o sposobie organizacji egzaminów maturalnych.
2. ograniczanie transparentności działań ważną lekcją jaką wyciągnęła CKE z awantur medialnych wokół błędów w maturach jest to, że należy publikować tak mało jak się tylko da. Odeszły do historii czasy, gdy w dniu matury można było zobaczyć klucz rozwiązań. CKE nie publikuje już też arkuszy matur poprawkowych, co nota bene zdaje się jest niezgodne z prawem - w ubiegłym roku do publikacji tych arkuszy zmusiła CKE interpelacja poselska.
   Nawet opisywany tu arkusz próbnej matury organizowanej przez OKE Poznań rozpoczyna się od groźnego nagłówka: Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej formie poza wykorzystaniem jako ćwiczeniowego/diagnostycznego w szkole. Nie zapominajmy jednak, że CKE/OKE są instytucjami publicznymi decydującymi o losie setek tysięcy maturzystów i jakby się nie broniły będą zawsze podlegać publicznej uwadze i ocenie.

Burza w szklance wody

Cytując Gombrowicza koniec i bomba, a kto czytał ten trąba. I coś w tym jest - tak naprawdę od lat obserwuję ewolucję egzaminu maturalnego i szczerze mówiąc zmienia się on na lepsze. Na przykład, pomijając tę wpadkę z zadaniem 8, opisywany klucz oceniania jest dość sensowny. Sensowny wydaje się też pomysł utworzenia bazy zadań maturalnych - wyprowadzenie procedury przygotowywania zadań poza wąskie grono ekspertów powinno dać długo oczekiwany powiew świeżości.

Tak więc traktujcie gorzki wydźwięk tego artykułu raczej jako łyżkę dziegdziu w beczce miodu niż na odwrót.