Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9156752

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ST ostrosłupa oraz wysokość SE jego ściany bocznej.


PIC


Wiemy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

Pc = 4Pp = 4 ⋅36.

Z drugiej strony,

4 ⋅36 = P = P + 4P = 36 + 4 ⋅ 1-⋅6⋅ SE = 36+ 12SE / : 1 2 c p SBC 2 SE = 12 − 3 = 9.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SBE i obliczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

 ∘ ----------- √ ------- √ --- √ --- SB = SE 2 + BE 2 = 81+ 9 = 90 = 3 10.

Z trójkąta prostokątnego AT S obliczamy interesujący nas cosinus.

 √- √ -- AT 6-2- 1 5 co sα = ----= -√2---= √---= ---. AS 3 10 5 5

 
Odpowiedź:  √- cosα = -55-

Wersja PDF