Planimetria/Geometria/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

W trójkącie równobocznym ABC obrano na boku taki punkt , że |BE | : |EC | = 1 : 2 . Oblicz tangens kąta ∡BAE .

Ukryj Podobne zadania

Na boku trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt taki, że |AD | : |DB | = 2 : 3 . Oblicz tangens kąta ACD .

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest równe 2 a .

Ukryj Podobne zadania

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej punkt jest środkiem ramienia . Odcinek ma długość 5 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz obwód trójkąta ABC .

Niech i będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś i długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną . Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Okrąg o promieniu 4 jest wpisany w trójkąt. Punkt styczności podzielił jeden z boków na odcinki o długości 6 i 8. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 2 234π cm . Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła.

Wykaż, że w dowolnym trapezie suma długości podstaw jest mniejsza od sumy długości przekątnych.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że w dowolnym trapezie suma długości ramion jest mniejsza od sumy długości przekątnych.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego, w którym odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej jest równa 5 cm.

Przekątne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie , a punkt jest takim punktem przekątnej , że |∡DCS | = |∡BCE | (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CD|⋅|CB| |CE | = --|CA|-- .

W trójkącie ABC boki i są równej długości. Prosta jest prostopadła do podstawy tego trójkąta i przecina boki oraz w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED . Oblicz |CE| |EB| .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC boki i są równej długości. Prosta jest prostopadła do podstawy tego trójkąta i przecina boki oraz w punktach – odpowiednio – i . Oblicz stosunek pola czworokąta ADEC do pola trójkąta BED jeżeli |AD| |DB| = 7 .

W trójkącie ABC długości boków i są odpowiednio równe 4 i 6. Punkt jest środkiem odcinka , a długość środkowej trójkąta AMB jest równa 3. Oblicz długość boku .

Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok , a długości dwóch pozostałych boków są równe |AB | = 30 oraz |BC | = 17 . Oblicz miarę kąta BAC oraz długość boku tego trójkąta.