Planimetria/Geometria/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria

W trójkącie ABC dane są kąt ∘ |∡ABC | = 12 0 , |AC | = 6 i |BC | = 3 . Dwusieczna kąta ∡ACB przecina bok w punkcie . Oblicz długość odcinka .

Długości boków równoległoboku ABCD wynoszą 1 i √ -- 3 , a kąt przy wierzchołku ma miarę 150∘ . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD .

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC | = 3 i |BC | = 4 wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków i , a drugi do boków i .

Oblicz długość promienia tych okręgów.

O ile procent zmniejszy się pole rombu, jeśli jedną przekątną rombu zwiększymy o 20%, a drugą przekątną skrócimy o 40%?

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe.

Ukryj Podobne zadania

Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P,Q ,R ,S (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Z wierzchołków czworokąta ABCD poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta PQRS wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli półproste AP , BP i są dwusiecznymi odpowiednio kątów DAB , ABC i BCD , to półprosta jest dwusieczną kąta CDA .

Dany jest prostokąt ABCD , którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Na boku zbudowano trójkąt równoboczny CDE (zobacz rysunek). Punkt jest takim punktem odcinka , że |∡BKC | = 7 5∘ . Udowodnij, że punkt jest środkiem odcinka .

Z wierzchołków kwadratu o boku , jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu . Znajdź promienie okręgów stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie.

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Ukryj Podobne zadania

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 3, |BC | = 6 , |CD | = 5, |DA | = 4 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

W trójkącie ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 70 połączono środek okręgu wpisanego z wierzchołkami i . Oblicz miarę kąta AOB .

W trójkącie ABC odcinek o końcach należących do boków odpowiednio i przecina środkową w punkcie , oraz odcinek jest równoległy do odcinka (patrz rysunek). Oblicz długość odcinka wiedząc, że |EG | = 2 i |F G| = 4 .

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 2. Oblicz długości tych cięciw.

Ukryj Podobne zadania

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu 1 62 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 7. Oblicz długości tych cięciw.

Dany jest trapez prostokątny (zobacz rysunek).

Wyznacz obwód tego trapezu, jeżeli miara kąta przy wierzchołku wynosi 30 ∘ .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym przyprostokątna ma długość 6. Punkt jest środkiem przeciwprostokątnej , spodek wysokości leży między punktami i , a odległość między punktami i jest równa 7 (zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta ABC .

Wiadomo, że π- 2π- 1 cos 5 co s 5 = 4 . Udowodnij, że przekątna pięciokąta foremnego o boku długości 1 ma długość √- 1+--5 2 .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡BGF | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡GF B | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta GBF .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i takie, że DE ∥ BC . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkt taki, że |∡DF C | = 90∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta FBD .

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

W trójkącie równobocznym ABC obrano na boku taki punkt , że |BE | : |EC | = 1 : 2 . Oblicz tangens kąta ∡BAE .

Ukryj Podobne zadania

Na boku trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt taki, że |AD | : |DB | = 2 : 3 . Oblicz tangens kąta ACD .

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne i przecinają się w punkcie . Punkty i są środkami odcinków – odpowiednio – i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

Strona 4 z 55