Geometria/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty i przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym, w którym AB ∥ CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Ukryj Podobne zadania

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinβ+-sinγ- sin α = cosβ+ cos γ to trójkąt ten jest prostokątny.

Na bokach AB , AD i rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K ,L i w ten sposób, że odcinki i są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz , przy czym a > b . W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od a ⋅b .

W trapez ABCD , gdzie AB ∥ CD i |AB | > |CD | , wpisano okrąg (patrz rysunek).

Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku jest prostopadła do ramienia |BC | .

Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku jest równoległa do ramienia .
Oblicz .

Podstawy trapezu mają długości 10 i 6. Wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie jest równa 90 ∘ , oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw i dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach. Oblicz długość odcinka .

Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD , że okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

W okrąg wpisany jest trójkąt ABC , przy czym ∡B = β i ∡C = γ < β . Oblicz miarę kąta między prostą i styczną do okręgu w punkcie .

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.

Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).

Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach i . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę ∘ |∡A | = 6 0 . Na bokach i wybrano punkty i w ten sposób, że |AK | = |BL | . Uzasadnij, że trójkąt KLD jest trójkątem równobocznym.

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Strona 2 z 9