Geometria/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria

Udowodnij że jeśli dwie dwusieczne w trójkącie są sobie równe to trójkąt jest równoramienny (twierdzenie Steinera-Lehmusa).

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzona z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 równe części.

Obwód trójkąta ABC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta KLM o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta ABC .

W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary oraz 90∘ + α . Jedno z ramion tego trapezu ma długość . Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że jeżeli odcinki i są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Punkt przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną otrzymując punkt . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

Dwusieczna kąta trójkąta ABC przecina bok w punkcie , a dwusieczna kąta przecina bok w punkcie . Dwusieczne przecinają się w punkcie . Znajdź miarę kąta , jeżeli wiadomo, że na czworokącie ATOS można opisać okrąg.

Dany jest równoległobok ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej w punkcie , a okrąg wpisany w trójkąt ABD ma środek i jest styczny do boku w punkcie .

Wykaż, że jeżeli odcinek jest równoległy do prostej , to |KD | = |SL| .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

Na bokach i trójkąta ostrokątnego ABC opisano, jako na średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przecięcia się tych okręgów (różny od punktu B)?

Cztery miasta A ,B,C i znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna ﬁrma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Jeden z węzłów ma ma być połączony z miastami i , a drugi węzeł z miastami i (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie . Przez punkt poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach i . Wykaż, że |ES | = |SF| .

Ukryj Podobne zadania

W trapezie ABCD o podstawach i przez punkt przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków i . Prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie , a prosta równoległa do boku przecina bok w punkcie . Wykaż, że ′ ′ |AA | = |BB | .

W kwadrat ABCD o boku długości wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek ze środkiem boku .

W trójkąt ABC , w którym |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β , wpisano okrąg. Punkty K ,L,M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB , BC i . Wykaż, że |∡MKL | = α+β- 2 .

W półkole o średnicy wpisano okrąg styczny do średnicy w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu , do wpisanego okręgu oraz do średnicy jeżeli |AB | = 2R .

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkty i poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

Udowodnij, że w trapezie, który ma dwa kąty ostre przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków równoległych i kwadratów pozostałych boków.

Strona 3 z 9