Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 25

/Konkursy

W trójkacie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok w punkcie . Długosci boków i są równe odpowiednio i , a długość odcinka jest równa . Wykaż, że d < 2ab- a+b .

Dla pewnej liczby naturalnej zachodzi równość

15 6 3 2 1⋅ 2⋅3 ⋅...⋅(n − 1 )⋅n = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅ 7 ⋅11 ⋅13 .

Ile wynosi ?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Jedna ze ścian sześcianu została rozcięta wzdłuż przekątnych, jak na rysunku obok. Dwa z podanych poniżej rysunków nie przedstawiają siatki tego sześcianu. Które?

A) 1 i 3 B) 1 i 5 C) 3 i 4 D) 3 i 5 E) 2 i 4

Na rysunku obok przedstawiony jest kwadrat ABCD o boku długości 1 oraz łuki okręgów o środkach A ,B,C ,D .

Ile wynosi długość odcinka P Q ?
A) √ -- 2 − 2 B) 3 4 C) √ -- √ -- 5 − 2 D) √ 3 -3- E) √ -- 3 − 1

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze i liczby naturalne spełniające równość

n(n − 1) = 2p .

Ile nieujemnych liczb całkowitych mniejszych od 100 można otrzymać jako sumę dziewięciu kolejnych liczb całkowitych?
A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

Ukryj Podobne zadania

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4 cm.

Brytyjski matematyk August de Morgan twierdził, że miał lat w roku x 2 . Wiadomo, że de Morgan umarł w roku 1899. W którym roku się urodził?
A) 1806 B) 1848 C) 1849 D) 1899 E) Inna odpowiedź

Wykaż, że jeżeli wielomian 6 4 2 W (x) = x + ax + bx + c jest podzielny przez trójmian x2 + x+ 1 , to jest również podzielny przez trójmian x 2 − x + 1 .

Ukryj Podobne zadania

Wielomian 7 5 3 W (x) = x + ax + bx + cx+ 7 jest podzielny przez wielomian x 2 + x + 1 . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x ) przez wielomian x 2 − x + 1 .

Na boku trójkąta ABC wybrano punkt tak, by |∡CAD | = |∡ABC | . Odcinek jest dwusieczną kąta DAB . Udowodnij, że |CE | = |AC | .

W sześcianie odcięto wszystkie naroża w sposób pokazany na rysunku obok. Ile ścian ma otrzymany w ten sposób wielościan?

A) 10 B) 18 C) 12 D) 16 E) 14

W trójkącie ABC punkt jest środkiem boku , punkt środkiem odcinka , a środkiem boku . Jeśli pole trójkąta ABC jest równe 96, to pole trójkąta AEF jest równe
A) 16 B) 24 C) 32 D) 36 E) 48

Franek i Andrzej ukończyli bieg na 200 metrów. Andrzej przebiegł ten dystans w pół minuty, a Franek w setną część godziny. Kto był szybszy i o ile sekund?
A) Andrzej, o 36 sekund
B) Franek, o 24 sekund
C) Andrzej, o 6 sekund
D) Franek, o 6 sekund
E) Obaj mieli równy czas

Wartość wyrażenia sin-1∘- cos89∘ jest równa
A) 0 B) tg1∘ C) ctg 1∘ D) 819 E)

Mama przygotowała na zimę sok wiśniowy, którym można napełnić dokładnie 12 dużych słoików albo dokładnie 20 mniejszych słoików. Mama napełniła już 9 dużych słoików i resztę postanowiła rozlać do mniejszych słoików. Ile takich słoików napełni pozostałym sokiem?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

Niech x ≥ y ≥ z będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 20 . Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
A) Zawsze x ⋅y < 99
B) Zawsze x ⋅y > 1
C) Zawsze x ⋅y ⁄= 25
D) Zawsze x ⋅y ⁄= 75
E) Żadne z poprzednich zdań nie jest prawdziwe.

W trójkącie a : b : c = 4 : 5 : 6 . Wykaż, że w tym trójkącie γ = 2α .

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy √ -- 8 − 4 2 .

Czy liczba nieparzysta i połowa następującej po niej liczby parzystej mogą mieć wspólny dzielnik większy niż 1?

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i ( R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach i odpowiednio ( S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .

Strona 25 z 29