Turnieju tenisowego rozgrywanego systemem każdy z każdym nie ukończyło dwóch graczy. Jeden z nich rozegrał tylko jeden mecz, a drugi dziesięć meczy. Ilu zawodników przystąpiło do turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano 55 meczy? Czy zawodnicy, którzy nie ukończyli turnieju rozegrali ze sobą mecz?
/Konkursy
Kąty w trójkącie mają miary: 
. Wykaż, że długości boków 
tego trójkąta spełniają równość: 
.
Na bokach trójkąta równobocznego 
(na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty 
i 
. Udowodnij, że trójkąt 
jest równoboczny.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie 
. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach 
i 
(
). Wykaż, że kąt 
jest prosty.
Ukryj
Podobne zadania
Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie 
oraz są styczne do prostej 
w punktach 
i 
odpowiednio (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że trójkąt 
jest prostokątny.
Złotnik miał dwa stopy złota ze srebrem. W pierwszym stopie stosunek masy złota do srebra wynosił 2:3, a w drugim 3:7. Ile musi wziąć każdego z tych stopów, aby otrzymać 8 kg nowego stopu, w którym stosunek masy złota do srebra wynosiłby 5:11?
Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych 
prawdziwa jest nierówność
Jaka jest najmniejsza liczba 10-cyfrowa, którą można utworzyć przez dopisanie do siebie w dowolnej kolejności sześciu liczb: 309, 41, 5, 7, 68 i 2?
A) 1 234 567 890
B) 1 023 456 789
C) 3 097 568 241
D) 2 309 415 687
E) 2 309 416 857
Na płaszczyźnie dany jest kwadrat 
o boku długości 1. Rozważamy wszystkie kwadraty, które mają przynajmniej dwa wierzchołki wspólne z kwadratem 
. Jakie jest pole obszaru pokrytego przez te kwadraty?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Pięć kotów zjada pięć myszy w ciągu pięciu minut. Ile kotów zje dziesięć myszy w ciągu dziesięciu minut?
Iloma zerami kończy się dziesiętny zapis iloczynu dziesięciu początkowych liczb pierwszych?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
W trójkącie 
poprowadzono środkową 
. Kąt 
ma miarę 
, a kąt 
ma miarę 
. Jaka jest miara kąta 
?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku 
trójkąta 
jeżeli 
i pole trójkąta 
jest równe 
.
Przekątna 
rombu 
przecina jego wysokość 
, poprowadzoną na bok 
, w punkcie 
. Oblicz pole rombu 
, jeśli wiadomo, że 
oraz 
.
Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.
Dla ilu wartości rzeczywistych parametru 
równanie 
ma dwa rozwiązania całkowitoliczbowe?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 2007
W liczbie, o której wiadomo, że miała, co najmniej dwie cyfry, wykreślono ostatnią cyfrę. Otrzymana liczba była, 
razy mniejsza od poprzedniej. Jaka jest największa możliwa wartość 
?
Dodatnia liczba naturalna 
ma dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba 
ma trzy dzielniki naturalne. Ile dzielników naturalnych ma liczba 
?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Zależy to od 
A) 1003 B) 75 C) 223 D) 213 E) 123
Mechaniczny kangurek porusza się po polach planszy przedstawionej obok na rysunku, startując z pola A3 w kierunku wskazanym strzałką. Kangurek porusza się tylko do przodu, przeskakując w pojedynczym skoku ze środka kratki, w której się znajduje, w środek kratki sąsiedniej (kratki są sąsiednie, gdy mają wspólny bok). Kangurek nie może wyskoczyć poza planszę, ani nie może wskoczyć na pola zacieniowane. Jeśli nie może wykonać skoku do przodu, to wykonuje obrót o 
w prawo i porusza się dalej. Jeżeli po obrocie nie może wykonać skoku, to kończy wędrówkę. Na jakim polu zatrzyma się kangurek?
A) B2 B) A1 C) E1 D) D1 E) nigdy się nie zatrzyma
Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.
Ukryj
Podobne zadania
Trapez równoramienny 
o podstawach 
i 
jest opisany na okręgu o promieniu 
. Wykaż, że 
.
