Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 24

/Konkursy

Wyznacz w zależności od parametru liczbę rozwiązań układu równań

{ |x |+ |y| = 1 |x |+ a = y .

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | .

Odcinek dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD | = |CD | oraz |AB | = |BD | . Udowodnij, że |∡ADC | = 5⋅ |∡ACD | .

Ukryj Podobne zadania

Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego, w którym |AC | = |BC | . Odcinek dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne takie, że |AD | = |CD | i |AB | = |BD | . Wykaż, że |∡ADC | = 5|∡ACD | .

Turnieju tenisowego rozgrywanego systemem każdy z każdym nie ukończyło dwóch graczy. Jeden z nich rozegrał tylko jeden mecz, a drugi dziesięć meczy. Ilu zawodników przystąpiło do turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano 55 meczy? Czy zawodnicy, którzy nie ukończyli turnieju rozegrali ze sobą mecz?

Kąty w trójkącie mają miary: α, β = 2α, γ = 4α . Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta spełniają równość: 1a − 1b − 1c = 0 .

Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE ,CBGH i ACKL . Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach i ( A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej w punktach i odpowiednio (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Złotnik miał dwa stopy złota ze srebrem. W pierwszym stopie stosunek masy złota do srebra wynosił 2:3, a w drugim 3:7. Ile musi wziąć każdego z tych stopów, aby otrzymać 8 kg nowego stopu, w którym stosunek masy złota do srebra wynosiłby 5:11?

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

√ ----- √ ----- √ ---- 4( a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 4c3 + (a+ b)3.

Jaka jest najmniejsza liczba 10-cyfrowa, którą można utworzyć przez dopisanie do siebie w dowolnej kolejności sześciu liczb: 309, 41, 5, 7, 68 i 2?
A) 1 234 567 890
B) 1 023 456 789
C) 3 097 568 241
D) 2 309 415 687
E) 2 309 416 857

Na płaszczyźnie dany jest kwadrat ABCD o boku długości 1. Rozważamy wszystkie kwadraty, które mają przynajmniej dwa wierzchołki wspólne z kwadratem ABCD . Jakie jest pole obszaru pokrytego przez te kwadraty?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Pięć kotów zjada pięć myszy w ciągu pięciu minut. Ile kotów zje dziesięć myszy w ciągu dziesięciu minut?

Iloma zerami kończy się dziesiętny zapis iloczynu dziesięciu początkowych liczb pierwszych?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

W trójkącie ABC poprowadzono środkową . Kąt ACB ma miarę ∘ 3 0 , a kąt ADB ma miarę 45∘ . Jaka jest miara kąta BAD ?

A) 4 5∘ B) 30∘ C) 25 ∘ D) 20 ∘ E) 35∘

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe .

Przekątna rombu ABCD przecina jego wysokość , poprowadzoną na bok , w punkcie . Oblicz pole rombu ABCD , jeśli wiadomo, że ---- |DE | = √ 31 3 oraz |CF|-= 13- |FE| 5 .

Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.

Dla ilu wartości rzeczywistych parametru równanie 2 x + ax + 20 07 = 0 ma dwa rozwiązania całkowitoliczbowe?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 2007

W liczbie, o której wiadomo, że miała, co najmniej dwie cyfry, wykreślono ostatnią cyfrę. Otrzymana liczba była, razy mniejsza od poprzedniej. Jaka jest największa możliwa wartość ?

Dodatnia liczba naturalna ma dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba n + 1 ma trzy dzielniki naturalne. Ile dzielników naturalnych ma liczba n + 2 ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Zależy to od

Strona 24 z 29