Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 23

Pięcioro przyjaciół zamierza na przyjęciu dać sobie nawzajem prezenty w taki sposób, że każdy da tylko jednej osobie prezent, i każdy otrzyma prezent tylko od jednej osoby (oczywiście nikt nie daje prezentu sobie). Na ile sposobów można to zrobić?
A) 5 B) 10 C) 44 D) 50 E) 120

Ile par liczb a,b ze zbioru {0,1,2,3,4 ,5,6,7,8,9} spełnia równanie a ⋅b = 10 + a ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Jaka jest najmniejsza liczba liter, które należy usunąć ze słowa KANGOUROU, aby otrzymać słowo, w którym litery się nie powtarzają i stoją w kolejności alfabetycznej?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Podczas rozwiązywania jednego z zadań kangurowych Basia zauważyła, że prawdziwe są następujące zdania:

Jeśli odpowiedź jest prawdziwa, to odpowiedź także jest prawdziwa.
Jeśli odpowiedź nie jest prawdziwa, to odpowiedź także nie jest prawdziwa.
Jeśli odpowiedź nie jest prawdziwa, to ani odpowiedź , ani nie jest prawdziwa.

Którą odpowiedź powinna wybrać Basia?
A) A B) B C) C D) D E) E

W pewnym miesiącu trzy wtorki wypadły w parzyste dni tego miesiąca. Jakim dniem tygodnia będzie dwudziesty pierwszy dzień tego miesiąca?
A) Niedziela B) Sobota C) Piątek D) Czwartek E) Środa

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Niech p = p 1p2...ps będzie liczbą całkowitą o cyfrach p1,...,ps . Pokaż, że

p --s-----= 0,(p 1p2...ps) 10 − 1

(okresowe rozwinięcie dziesiętne).

Organizacja międzynarodowa liczy 32 członków. Ilu członków będzie liczyła ta organizacja po 3 latach, jeśli rokrocznie ich liczba wzrasta o 50%?
A) 182 B) 128 C) 108 D) 96 E) 80

Dla jakich liczb całkowitych liczba a3−-2a2+3- a2−2a jest także liczbą całkowitą?

Na osi liczbowej zaznaczono ułamki 1 3 i 1 5 .

Która z liter oznacza ułamek ?
A) B) C) D) E)

Znajdź wszystkie funkcje f : R ∖{ 0} → R , dla których zachodzi równość f (x)+ 3f(1x) = 2x .

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = 8 i |AD | = 6 . Na boku zbudowano trójkąt równoboczny ABM (patrz rysunek). Oblicz obwód trójkąta KLM .

Funkcja 3 2 f(x) = x + ax + bx+ c ma trzy różne miejsca zerowe: p,q,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji 3 2 y = ax + bx + cx+ d . Ile wynosi ?

A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 4

Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeśli okręgi te są styczne zewnętrznie, to w trapez ten można wpisać okrąg.

Na rysunku obok trójkąty ABC i CDE są równoboczne i przystające. Jaka jest miara kąta ABD jeżeli miara kąta |∡ACD | = 80 ∘ ?

A) 2 5∘ B) 3 0∘ C) 35 ∘ D) 40∘ E) 45∘

Butelka o pojemności 1 3 litra jest w 3 4 swojej pojemności wypełniona sokiem. Ile soku pozostanie w butelce po odlaniu litra?
A) -1 20 litra B) -3 40 litra C) 0,13 litra D) 1 8 litra E) Butelka będzie pusta

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru m × n ustawiono wieże. Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej dwóch innych wież. Wyznaczyć, w zależności od m ,n ≥ 2 , największą liczbę wież na szachownicy, dla której taka sytuacja jest możliwa.

Przez punkt leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną i sieczną do tego okręgu. Styczna przecina ten okrąg w punkcie , a sieczna w punktach i .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że

|PA |⋅|PB | = |P C |2.

(Jest to tzw. twierdzenie o stycznej i siecznej.)

Okrąg podzielono dwudziestoma punktami na dwadzieścia łuków tej samej długości. Ile można zbudować łamanych zamkniętych z wierzchołkami w tych punktach i z odcinkami równej długości? (Odcinki mogą się przecinać, ale nie mogą się pokrywać.)

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy