Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 22

Które z poniższych ﬁgur przedstawiają bryłę z rysunku obok?

A) W oraz Y B) X oraz Z C) Tylko Y D) Żadna z nich E) W, X oraz Y

Wykaż, że jeśli a1 a2 an b1 = b2 = ⋅⋅ ⋅ = bn i b 1 + b2 + ⋅⋅⋅ + bn ⁄= 0 , to a1+a2+⋅⋅⋅+an a1 b1+b2+⋅⋅⋅+bn = b1 .

Jeżeli każdy z wierzchołków i trójkąta ABC połączymy odcinkami z dwoma różnymi punktami leżącymi na przeciwległym boku, to odcinki te podzielą ten trójkąt na dziewięć części (patrz rysunek). Na ile części zostanie podzielony trójkąt, jeżeli każdy z wierzchołków i połączymy odcinkami z czterema punktami (różnymi od wierzchołków) leżącymi na przeciwległym do nich boku?

A) 16 B) 25 C) 36 D) 42 E) 49

Ile kwadratów można narysować, łącząc odcinkami kropki na rysunku obok?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej wartość wielomianu W (x) = x5 − 5x3 + 4x jest liczbą podzielną przez 120.

Na trójkącie ABC opisano okrąg o środku (rysunek obok). Zacieniowany trójkąt ma pole równe √ -- 3 . Ile jest równe pole trójkąta ABC ?

A) √ -- 2 3 B) √ -- 32 3 C) √ -- 6 D) √ -- 3 3 E) √ -- 4 3

Odcinając narożnik danego trójkąta równobocznego, otrzymano trapez. Gdy ułożymy z dwóch takich trapezów równoległobok, to jego obwód jest o 10 cm większy od obwodu tego trójkąta równobocznego. Jaki jest obwód danego trójkąta równobocznego?
A) 10 cm B) 30 cm C) 40 cm D) 60 cm E) Mamy za mało informacji, żeby to obliczyć

Styczna w punkcie do okręgu opisanego na trójkącie ABC przecina prostą w punkcie . Niech będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta z prostą . Udowodnić, że AE = ED .

Kolejne wyrazy ciągu 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9... wpisujemy spiralnie w kratki nieskończonego diagramu, tak jak na rysunku obok. Jaką liczbę wpiszemy w setnej kratce ponad kratką zacieniowaną?

A) 8 B) 5 C) 6 D) 1 E) 3

Na bokach i prostokąta ABCD wybrano punkty i w ten sposób, że trójkąt DKL jest ostrokątny oraz |∡KDL | = α . Odcinek jest wysokością trójkąta DKL .

Wykaż, że |∡AMC | = 90 ∘ + α .

Podstawy trapezu mają długości 9 i 12. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Wykaż, że √ -- √3-- 2 + 2 jest liczbą niewymierną.

W trójkąt równoboczny wpisane są 3 koła o równych promieniach, przy czym każde koło jest styczne do dwóch boków trójkąta oraz do dwóch pozostałych kół. Oblicz stosunek sumy pól tych kół do pola trójkąta.

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

Liczby dodatnie a,b,c,d i są takie, że ab = 2 , bc = 3 , cd = 4 , de = 5 . Jaką wartość ma ?
A) 15 8 B) 5 6 C) 3 2 D) 4 5 E) Wartości tej nie można wyznaczyć

Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b,c ∈ R + zachodzi nierówność

2 2 2 a + b + c ≥ ab + ac + bc.

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt jest takim punktem boku tego prostokąta, że prosta jest dwusieczną kąta DCE . Wykaż, że trójkąt CF E jest prostokątny.