Czworokąt jest trapezem prostokątnym, w którym . Wykaż że
/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria
Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.
Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.
Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek to trójkąt ten jest prostokątny.
Na bokach i rombu wybrano odpowiednio punkty i w ten sposób, że odcinki i są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.
W trapez , gdzie i , wpisano okrąg (patrz rysunek).
Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku jest prostopadła do ramienia .
- Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku jest równoległa do ramienia .
- Oblicz .
Podstawy trapezu mają długości 10 i 6. Wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie jest równa , oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.
Podstawy trapezu mają długości i . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw i dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach. Oblicz długość odcinka .
Dany jest taki czworokąt wypukły , że okręgi wpisane w trójkąty i są styczne. Wykaż, że w czworokąt można wpisać okrąg.
W okrąg wpisany jest trójkąt , przy czym i . Oblicz miarę kąta między prostą i styczną do okręgu w punkcie .
Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).
Czworokąt jest trapezem o podstawach i . Wykaż że
Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.
Kąt ostry rombu ma miarę . Na bokach i wybrano punkty i w ten sposób, że . Uzasadnij, że trójkąt jest trójkątem równobocznym.
Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.
Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.
Udowodnij że jeśli dwie dwusieczne w trójkącie są sobie równe to trójkąt jest równoramienny (twierdzenie Steinera-Lehmusa).
Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .
Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .
Wyznacz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzona z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 równe części.