Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Wyszukiwanie zadań

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Ramiona kąta ostrego o mierze 2x przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

PIC

  • Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa 2π = 36 0∘ .
  • Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa ∘ 2π = 36 0 .
  • Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego n –kąta.

Pole trapezu jest równe P , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD . Udowodnij, że ∡AED = ∡BAE + ∡CDE .

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi a , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe H i h . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę α .

PIC

  • Wyraź tg α w zależności od wielkości a i H .
  • Wyraź co sα w zależności od wielkości a i h .
  • Wykaż, że jeśli 2 a = H ⋅h , to √ -- sin α = 2− 1 .

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN , przy czym punkt M należy do pierwszego, a punkt N do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

|AC |2 = |BC |2 + |AB |⋅|BC |.

Średnica AB i cięciwa CD okręgu o środku O i promieniu r przecinają się w punkcie E takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r . Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α , to miara kąta ASD jest równa 3α .

PIC

Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt N jest punktem wspólnym przekątnej BD i wysokości CE opuszczonej na dłuższą podstawę AB . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .

PIC

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC ,CA ,AB odpowiednio w punktach D ,E,F . Punkty M ,N ,J są odpo- wiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty AEF ,BDF ,DEF . Dowieść, że punkty F i J są symetryczne względem prostej MN .

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że proste DF i CE są prostopadłe.

PIC

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Strona 9 z 9