Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Wyszukiwanie zadań

W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

Ukryj Podobne zadania

Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |∡CAD | = |∡ABC | . Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB . Udowodnij, że |CE | = |AC | .

PIC

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty E i G należą do odcinków AD i CD odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt F . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy √ -- 8 − 4 2 .

PIC

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R i r (R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach S1 i S2 odpowiednio (S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie A jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .

PIC

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty K i L w ten sposób, że odcinek KL jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych. Oblicz długość odcinka KL .

Boki trójkąta A1B 1C1 są styczne do okręgu w punktach A , B, C , a kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe α, β, γ . Oblicz miary kątów trójkąta A 1B1C 1 .

PIC

Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach 20 ∘ i 40∘ . Oblicz miary kątów czworokąta.

Prosta DB jest styczna do okręgu w punkcie B . Oblicz miarę zaznaczonego kąta ∡ABD jeśli ∡ACB = α .

PIC

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sin α = 2 cos γsin β to trójkąt ten jest równoramienny.

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość h i jest pięć razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta k jest styczna do obu okręgów w punktach A i B . Oblicz długość odcinka AB . Rozważ dwa przypadki.

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

PIC

Wykaż, że punkty A ,E i F są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Na bokach BC ,AC i AB trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i F . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt F leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Ramiona kąta ostrego o mierze 2x przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

  • Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa 2π = 36 0∘ .
  • Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa ∘ 2π = 36 0 .
  • Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego n –kąta.

Pole trapezu jest równe P , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Strona 8 z 9