Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

Odcinki i są równoległe do boku trójkąta ABC , a odcinki i są równoległe do boku . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to 2 |AD | = |DE |⋅|DB | .

Odcinek jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków i w punktach i odpowiednio. Na bokach i tego trójkąta wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AP | = |AC | , 8 ⋅|BC | = 17⋅|P B| i 3⋅ |BK | = 25 ⋅|LQ | , to trójkąt BP Q jest rozwartokątny.

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

Wyznacz długości boków trójkąta wiedząc, że są one kolejnymi liczbami naturalnymi zaś największy kąt jest dwa razy większy od kąta najmniejszego.

Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste i odpowiednio w punktach i . Wykaż, że |BC |2 = 4⋅ |DN |⋅ |DM | .

W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC . Punkt jest środkiem boku . Niech oznacza miarę kąta ABC , natomiast – miarę kąta ADC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz tgβ sin2α- .

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku obrano taki punkt , że pola trójkątów PAB , PBC i PAC są równe. Oblicz długość odcinka , wiedząc, że |PA |2 + |PB |2 = m .

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio kątów o miarach α ≤ β ≤ γ to a ≤ b ≤ c .

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 120 . Udowodnij, że wewnątrz trójkąta ABC istnieje punkt taki, że

|∡AP B| = |∡BP C| = |∡CPA | = 120∘.

Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste i odpowiednio w punktach i . Wykaż, że |MD-| |AC|2 |DN | = |AB|2 .

Styczna w punkcie do okręgu opisanego na trójkącie ABC przecina prostą w punkcie . Niech będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta z prostą . Udowodnić, że AE = ED .

W trójkąt równoboczny wpisane są 3 koła o równych promieniach, przy czym każde koło jest styczne do dwóch boków trójkąta oraz do dwóch pozostałych kół. Oblicz stosunek sumy pól tych kół do pola trójkąta.

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).