Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

 ∘ -------- a+--b- a2 +-b2 2 < 2 .
*Ukryj

Wykaż, że jeśli x,y ∈ R to ∘ x2+y2- x+y --2-- ≥ --2- .

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.
*Ukryj

Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √ ------√ ----- √ --- √ --- a+ b⋅ c + d ≥ ac+ bd .

Rozwiąż nierówność 1 2 |x + 4| ≤ 5 .

Wyznacz zbiór nieujemnych rozwiązań nierówności  2 (x − 1 ) ≥ (x− 1)(x+ 1) .

*Ukryj

Wyznacz zbiór nieujemnych rozwiązań nierówności  2 (x − 2 ) ≥ (x− 2)(x+ 2) .

Rozwiąż nierówność |x − 2|+ |3x − 6| < |x | .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b prawdziwa jest nierówność

 √ ---- 3a+--3b-≥ 2ab . 4

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).
*Ukryj

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Rozwiąż nierówność  4 3 2 2 (x − 5x + 6x )+ (x − 5x + 6) ≥ 0 .

Wyznacz dopełnienie zbioru  4 2 A = {x ∈ R : x − 10x + 9 ≤ 0 } w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiąż nierówność |2x + 8| < 5 .

Rozwiąż nierówność ∘ ------- x-- 2− |x| < |x| .

Rozwiąż graficznie nierówność  x+1 2 2 − 1 ≤ log 12 x .

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x 6 + y6 ≥ x4y2 + x2y4 .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z takich, że x ≥ y ≥ z , prawdziwa jest nierówność

x2z+ y2x + z2y ≤ x 2y + y 2z+ z 2x .

Możesz skorzystać z tożsamości

(x − y)(y− z)(z− x) = xy2 + yz 2 + zx 2 − xz 2 − yx 2 − zy2.

Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych x oraz a prawdziwa jest nierówność

(x+ 2a)2 ≥ 8ax .

Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej k prawdziwa jest nierówność 9k2 + 9k + 2 > 0 .

Rozwiąż nierówność kwadratową  2 (2x− 1) ≥ 4 .

*Ukryj

Rozwiąż nierówność kwadratową  2 (2x+ 1) ≤ 4 .

Dany jest wielomian  3 2 W (x) = x + x − 5x + 3 .

  • Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x + 1) .
  • Oblicz miejsca zerowe tego wielomianu.
  • Rozwiąż nierówność W (x) > (x − 1)2 .

Rozwiąż nierówność (3 + 2x )(3− 2x ) ≥ (1 − 4x)(2 + x) .

Rozwiąż graficznie lub algebraicznie nierówność  −1 (x− 1) < x .

<Strona 2 z 14>>>>