Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Na bokach AD i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty E i F w ten sposób, że AE = 1k i DF = m1 , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech S będzie punktem przecięcia odcinków AF i BE


PIC


  • Wykaż, że jeżeli trójkąt ABS jest prostokątny to k = m .
  • Oblicz cosinus kąta ASB jeżeli k = 3 i m = 2 .

Na bokach AD , DC i CB kwadratu ABCD wybrano punkty K , M i L ten sposób, że |DK | = 2|KA | , |DM | = 2 |MC | , oraz |BL | = 2|LC | .

  • Uzasadnij, że trójkąt KLM jest prostokątny.
  • Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta KLM .

PIC

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.


PIC


Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD . Punkty E i F są środkami boków BC i AB . Uzasadnij, że odcinki DE i CF są prostopadłe.


PIC


Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL | = 13|BE | i |DN | = 13|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.


PIC


*Ukryj

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty L i N są środkami odcinków – odpowiednio – BE i ED . Punkty K i M leżą na przekątnej AC tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.


PIC


Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.

Prosta przechodząca przez wierzchołek C kwadratu ABCD przecina przedłużenia jego boków AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że

--1---+ --1---= --1---. |CL |2 |CK |2 |AB |2

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 4.


PIC


Punkty E i F są środkami boków BC i AB , a punkt G jest punktem wspólnym odcinków CF i DE . Oblicz pole czworokąta AF GD

W kwadracie połączono odcinkiem środki przeciwległych boków. Wiedząc, że przekątne tak utworzonych prostokątów dzielą się na odcinki długości 1, oblicz pole wyjściowego kwadratu.


PIC


W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD .

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Punkt E jest punktem przekątnej AC , takim że |CE | = 1 . Oblicz długość odcinka BE .

Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 2 zakreślono okręgi o promieniu 2. Oblicz pole „soczewki” wyznaczonej przez te okręgi.

Na kwadracie ABCD opisano okrąg o promieniu r = 3 cm . Oblicz pole zacieniowanej figury.


PIC


*Ukryj

Na kwadracie ABCD opisano okrąg o promieniu r = 5 cm . Oblicz pole zacieniowanej figury.


PIC


Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że wyrażenie |PA |2 + |P B|2 + |PC |2 + |PD |2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu P .

Na bokach AD , AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że |LK |+ |LM | = |AC | .


PIC


Prosta przechodząca przez środek S kwadratu ABCD przecina proste zawierające jego boki AB i AD odpowiednio w punktach K i L (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że

--1---+ --1---= ---4--. |SL |2 |SK |2 |AB |2

Kwadrat K1 ma bok długości a . Obok niego rysujemy kolejno kwadraty K 2,K3,K 4,... takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek).


PIC


Wyznacz pole kwadratu K 12 .

Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 4π . Oblicz pole kwadratu.

*Ukryj

Oblicz pole kwadratu wiedząc, że różnica pól kół opisanego i wpisanego w ten kwadrat jest równa π .

Kwadratowe szklane płytki o boku długości 1 cm, połączone w jednym wierzchołku, rozsunęły się tak, że boki wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 60∘ . Oblicz pole części wspólnej płytek. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm 2 .


PIC


Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej kwadratu.

*Ukryj

Różnica między długością przekątnej kwadratu i długością jego boku wynosi 2 cm. Oblicz długość boku tego kwadratu.

Przekątna kwadratu jest o 1 dłuższa od jego boku. Oblicz pole i obwód tego kwadratu.

Różnica między długością przekątnej kwadratu i długością jego boku wynosi 1 cm. Oblicz długość boku tego kwadratu.

Strona 1 z 2>