Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Nierówności/3 liczby

Wyszukiwanie zadań

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x,y ,z spełniona jest nierówność

( 1 1 1 ) (x + y + z) -+ --+ -- ≥ 9 x y z

Wykaż że jeżeli x,y,z są liczbami rzeczywistymi oraz x + y + z = 1 , to x 2 + y2 + z2 ≥ 13 .

Przedstaw liczbę 20 jako sumę trzech liczb dodatnich tak, aby iloczyn tych liczb był jak największy.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b,c ∈ R + zachodzi nierówność

( 1 1 1) (a + b+ c) --+ -+ -- ≥ 9. a b c

Udowodnij, że dla dowolnych liczb a,b,c ∈ R + zachodzi nierówność

2 2 2 a + b + c ≥ ab + ac + bc.

Funkcja 3 2 f(x) = x + ax + bx+ c ma trzy różne miejsca zerowe: p,q,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

√ ----- √ ----- √ ---- 4( a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 4c3 + (a+ b)3.

Wykaż, że jeżeli x,y,z są długościami boków trójkąta to √ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2 .