Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 12

/Konkursy

Punkt należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że wyrażenie |PA |2 + |P B|2 + |PC |2 + |PD |2 ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu .

Ile jest liczb dziewięciocyfrowych, w których suma każdych trzech kolejnych cyfr jest równa 10?

W trapezie ABCD o podstawach i punkt jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe 5, a pole trójkąta CDO jest równe 4.

Parę liczb całkowitych nazywamy dobrą, jeśli ich suma jest równa ich iloczynowi. Ile jest dobrych par liczb?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) Nieskończenie wiele

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o polu .

Która z poniższych liczb jest wielokrotnością liczby 3?
A) 200 9 B) 2 + 0 + 0+ 9 C) (2 + 0) ⋅(0+ 9) D) E) 200 − 9

Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta.

Trzy brygady malarzy powinny pomalować most. Jeśli pracowałaby tylko pierwsza brygada, to pomalowałaby go w 10 dni, gdyby pracowała tylko druga to w 12 dni, a gdyby tylko trzecia to w 15 dni. Ile dni zajmie pomalowanie mostu wszystkim trzem brygadom, jeśli będa pracować razem?

Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.

Który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji ∘ ------------------ y = |(1 + x)(1 − |x|)| ?

Dany jest trapez ABCD o podstawach i . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie . Wykaż, że |SA |⋅|SD | = |SB |⋅|SC | .

W kwadraciki tablicy 3x3 wpisane są liczby naturalne (rysunek obok). Ada wykreśliła z tablicy 4 liczby, a następnie Maria wykreśliła z pozostałych także 4 liczby. Okazało się, że suma liczb skreślonych przez Adę jest trzy razy większa od sumy liczb skreślonych przez Marię. Jaka liczba pozostała nie skreślona ?

A) 4 B) 7 C) 14 D) 23 E) 24

W trapezie ABCD o podstawach i punkt jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe , a pole trójkąta CDO jest równe .

Marcin goni Norberta. Początkowa odległość między nimi wynosi 162 m, Krok Marcina ma 0,9 m, krok Norberta 0,75 m. Marcin w ciągu 4 sekund robi 20 kroków, a Norbert w ciągu 5 sekund robi 24 kroki. Po jakim czasie Marcin dogoni Norberta?

W trójkącie ABC na boku zaznaczono punkt , na boku zaznaczono punkt , na boku punkt . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu należą punkty A , E , F , do – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg przechodzi przez wierzchołek trójkąta ABC i przecina jego boki i odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez wierzchołek , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Wykaż, że nie istnieje para liczb (a ,b) spełniająca układ równań { 3b+ 2ab = 1 2 2 a + b + 3a = − 4.

Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 2 i 3, a przekątne długości 3 i 4.

W trójkącie ABC na boku wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Basia buduje z zapałek kolejno układanki zgodnie ze schematem widocznym na rysunku obok, na którym zaznaczono układanki o numerach 1, 2, 3. O ile więcej zapałek zużyła do układanki o numerze 31 niż do układanki o numerze 30?

A) 124 B) 148 C) 61 D) 254 E) 120

Rysunek obok przedstawia trzy wzajemnie styczne okręgi o promieniach 1,2 i 3. Jaka jest długość łuku zaznaczonego pogrubioną linią?

A) 54π- B) 5π3- C) π2- D) 3pi 2 E) 2π- 3

Strona 12 z 29