Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy

Wyszukiwanie zadań

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10 jest styczny do boków AC i BC w punktach D i E . Proste DE i AB przecinają się punkcie F . Oblicz pole trójkąta EBF .

Nietaktowny mężczyzna zapytał swoją sąsiadkę, ile ma lat. Sąsiadka odpowiedziała mu: „Jeśli będę żyła równa sto lat, to mój obecny wiek stanowi dwie trzecie czasu, jaki mi pozostał do przeżycia.” Ile lat ma sąsiadka?
A) 20 B) 40 C) 50 D) 60 E) 80

Liczby pierwsze p i q , gdzie p > q , nazywamy bliźniaczymi, jeżeli p − q = 2 . Udowodnij, że liczby pierwsze p i q są bliźniacze wtedy i tylko wtedy, gdy pq + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

PIC

Rozważamy pary takich liczb całkowitych dodatnich a,b, że a+ b ≤ 103 oraz ab < 13 . Największy możliwy iloraz ab jest równy
A) 27 77 B) 26- 77 C) 25 76 D) 25 77 E) 26- 75

Suma cyfr sumy cyfr liczby 2008 jest równa
A) 2 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1

Na ramionach AC i BC trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest równoległy do podstawy AB i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB |2 |AB |⋅|P Q | --------------------. 2(|AB |− |P Q |)

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą od ∘ 120 . Wyznacz taki punkt P wewnątrz trójkąta ABC , dla którego suma |PA |+ |P B| + |PC | jest najmniejsza możliwa.

ZINFO-FIGURE

Odgadnij jakie cyfry kryją się za literami w podanym działaniu, jeżeli różnym literom odpowiadają różne cyfry.

F O R T Y T E N -+----------T---E--N-- S I X T Y

Heron codziennie rano wyrusza ze swojego domu (punkt A ) do brzegu rzeki (prosta KL ) aby nabrać wodę (w punkcie P ) i podlać rośliny w sadzie (punkt B ).

ZINFO-FIGURE

Jakie powinno być położenie punktu P , żeby pokonana przez niego droga (wzdłuż łamanej AP B ) była najkrótsza?

Cztery liczby, wśród nich 2, 3, 4, rozmieszczono w polach tabeli. Wiadomo, że suma liczb w pierwszym wierszu jest równa 9, a suma liczb w drugim wierszu jest równa 6. Czwarta liczbą jest

PIC

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 2 n + 2023 jest podzielna przez 8.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli liczba n nie dzieli się przez 3, to liczba 2 n + 2024 jest podzielna przez 3.

Pociąg składa się z lokomotywy (na początku składu) i pięciu wagonów oznaczonych numerami: I,II,III,IV,V. Na ile sposobów można zestawić skład tego pociągu tak, aby wagon I był bliżej lokomotywy niż wagon II?
A) 120 B) 60 C) 48 D) 30 E) 10

Na okręgu o promieniu r opisano trapez, w którym |AB | = a i |CD | = b .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że 4r2 ≤ ab .

W trapezie ABCD połączono środek M ramienia trapezu AD z końcami drugiego ramienia BC . Wykaż, że pole powstałego trójkąta BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD .

Ukryj Podobne zadania

Punkt M jest środkiem boku AD . Udowodnij, że pole trójkąta CMB jest połową pola trapezu ABCD (AB ∥ DC ).

ZINFO-FIGURE

Kwadraty przedstawione na rysunku mają boki równe 1. Pole zacieniowanego czworokąta jest równe

PIC

A) √ -- 2 − 1 B) √- -22- C) √ - --2+1 2 D) √ 2+ 1 E) √ 3-− √ 2-

Mirek zmierzył kąty w dwóch trójkątach. Jeden z trójkątów był ostrokątny, a drugi rozwartokątny. Mirek zapamiętał miary czterech z tych katów 12 0∘,80∘,55∘,10∘ . Jaka jest miara najmniejszego kąta w trójkącie ostrokątnym?
A) 5∘ B) 10 ∘ C) 45∘ D) ∘ 55 E) Nie można tego ustalić.

Iloczyn czterech różnych dodatnich liczb całkowitych jest równy 100. Suma tych liczb jest równa
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

Udowodnij, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Konkurs „Kangur Matematyczny” odbywa się w Europie każdego roku począwszy od 1991. W roku 2006 odbywa się on po raz
A) 15 B) 16 C) 17 D) 13 E) 14

Strona 13 z 29