Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 14

Z punktu należącego do boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie ﬁgury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem , jeśli |AP | : |PB | = m i m ⁄= 1 .

Jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia 2007–KAN–GA–ROO, w którym różnym literom odpowiadają różne cyfry?
A) 100 B) 110 C) 112 D) 119 E) 129

W gronie uczniów pewnej klasy dziewczęta stanowią więcej niż 45%, ale mniej niż 50% wszystkich uczniów. Jaka jest najmniejsza możliwa liczba dziewcząt w tej klasie?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Wartość sumy ---1---- ----1--- ------1------- 2√1+√ 2 + 3√2+ 2√3 + ⋅⋅⋅+ 100√99+99√100 jest równa
A) -999- 1000 B) -99 100 C) 9- 10 D) 9 E) 1

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio i (punkty A ,B ,C,D i są współliniowe).

Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Babcia upiekła swoim wnukom paszteciki. Gdyby dała każdemu z nich po 2, to pozostałyby jej 3 paszteciki, a gdyby chciała dać każdemu z nich po 3, to zabrakłoby jej 2 pasztecików. Ilu wnuków ma babcia?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Jeden z boków trójkąta ma długość 120, drugi 130. Która z poniższych liczb nie może być długością trzeciego boku?
A) 40 B) 99 C) 100 D) 150 E) 260

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie , a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .

W pewnej klasie okazało się, że liczba chłopców, którzy rozwiązali zadania kangurowe, jest równa liczbie dziewcząt, które nie potraﬁły tego zadania rozwiązać. Kogo było więcej w tej klasie: tych wszystkich, którzy rozwiązali zadanie, czy wszystkich dziewcząt?
A) Wszystkich dziewcząt
B) Tych wszystkich, którzy rozwiązali zadanie
C) Tych, którzy rozwiązali zadanie, było tyle samo co wszystkich dziewcząt
D) Nie da się tego ustalić
E) Opisana sytuacja jest niemożliwa

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość jest dwa razy dłuższa od wysokości (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

W trójkącie równobocznym ABC o wysokości obrano punkt , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa .

Liczba stanowi 125% liczby . Ile procent liczby stanowi liczba ?
A) 50% B) 75% C) 80% D) 90% E) 100%

Iloma zerami kończy się liczba 2 3 12 ⋅ 15 ?
A) 6 B) 12 C) 5 D) 3 E) 1

W spotkaniu piłkarskim drużyna gospodarzy jako pierwsza objęła prowadzenie i nie straciła go do końca meczu. Mecz zakończył się zwycięstwem gospodarzy w stosunku 5:4. Na ile sposobów mogły padać bramki w tym meczu?
A) 17 B) 13 C) 20 D) 14 E) 9

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 12. Jeżeli od liczby utworzonej z przestawienia cyfr liczby początkowej odejemiemy 8 to otrzymamy liczbę 3 razy mniejszą od liczby początkowej. Znajdz tę liczbę.

Z przystani w kierunku przystani wypłynął statek, który poruszał się z prędkością 10 km/h. W cztery godziny później z tej samej miejscowości i w tym samym kierunku wypłynął drugi statek poruszający się z prędkością 12 km/h. Oba statki dotarły jednocześnie do miejscowości . Jaka jest odległość pomiędzy tymi przystaniami?

Dwa lata temu córka była 6 razy młodsza od matki, a za cztery lata matka będzie 3 razy starsza od córki. Ile lat ma teraz córka?

Przez dopisanie do siebie 20 słów KANGAROO powstał ciąg liter KANGAROOKANGAROO...KANGAROO. Na początek, w ciągu tym zmazujemy litery stojące na parzystych miejscach. Następnie, w tak otrzymanym nowym ciągu, zmazujemy litery stojące na parzystych miejscach. Postępowanie to kontynuujemy tak długo, aż pozostanie jedna litera. Jaka to litera?
A) K B) A C) N D) G E) O

Duży kwadrat o polu 1 został podzielony na kwadraty, jak na rysunku obok. Pole małego zacieniowanego kwadratu jest równe.

A) 118 B) 1108 C) -1- 162 D) -1- 324 E) -1-- 1000

Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS . Punkt jest środkiem boku i |AM | = |MC | . Odcinek jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy