Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 15

Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

W prostokącie umieszczono sześć identycznych okręgów, jak na rysunku. Wierzchołki małego prostokąta są środkami czterech z tych okręgów. Wiadomo, że obwód małego prostokąta jest równy 60 cm. Ile jest równy obwód dużego prostokąta?

A) 90cm B) 140cm C)120 cm D)100 cm E)80 cm

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zaznaczono odpowiednio punkty i tak, że |AK-|= |CL-|= 1 |KB | |LA | 2 . Odcinki i przecinają się w punkcie . Oblicz |MB | |MK-| .

Punkty A ,B ,C ,D leżą na prostej w pewnym porządku. Wiadomo, że |AB | = 13 , |BC | = 1 1 , |CD | = 14 , |DA | = 12 . Ile jest równa odległość pomiędzy skrajnie położonymi punktami?
A) 25 B) 14 C) 38 D) 50 E) 39

Ile wynosi miara kąta ostrego w rombie, w którym długość boku jest równa średniej geometrycznej długości obu przekątnych?
A) 15∘ B) 30∘ C) 45 ∘ D) 60 ∘ E) 75∘

Wykaż, że jeżeli długości a ,b,c boków trójkąta spełniają równość

1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy b√3- 3 .

Liczba jest sumą cyfr liczby naturalnej , a liczba jest sumą cyfr liczby . Dla ilu liczb naturalnych zachodzi równość x + y + z = 60 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Więcej niż 3

Spośród liczb wpisanych do tablicy obok wybieramy trzy liczby tak, aby żadne dwie z nich nie leżały w tym samym wierszu ani w tej samej kolumnie. Największa suma liczb w tak wybranych trójkach jest równa

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24

Wewnątrz trójąta ABC obrano punkt odległy od prostych BC ,CA i odpowiednio o x,y ,z . Wykaż że

2 xyz ≤ 2S--, 27R

gdzie jest polem trójkąta, a promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów zachodzi równość?

O godzinie 21:00 kierowca stwierdził, że jedzie z prędkością 100 km/h. Przy tej prędkości paliwa wystarczy mu na przejechanie 80 km. Najbliższa stacja paliw, gdzie może on zatankować, znajduje się w odległości 100 km. Kierowca wiedząc, że zużycie paliwa jest proporcjonalne do prędkości samochodu, postanowił w jak najkrótszym czasie dojechać do tej stacji. O której godzinie kierowca będzie na stacji?
A) 22:12 B) 22:15 C) 22:20 D) 22:25 E) 22:30

Turysta wybrał się na pieszą wędrówkę, składającą się najpierw z odcinka płaskiego, a następnie z krótkiej wspinaczki. Po dojściu do celu wrócił tą samą drogą, tzn. najpierw zszedł w dół, a potem ponownie przebył płaski odcinek. Cała wędrówka trwała 2 godziny. Ile kilometrów przewędrował jeśli wiadomo, że po płaskim terenie poruszał się z prędkością 4 km/h, wspinał się z prędkością 3 km/h, a schodził w dół z prędkością 6 km/h?
A) Za mało informacji, aby to obliczyć B) 6 km C) 7,5 km D) 8 km E) 10 km

Odcinki i są równoległe do boku trójkąta ABC , a odcinki i są równoległe do boku . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to 2 |AD | = |DE |⋅|DB | .

Na poniższym rysunku w pierwszym wierszu umieszczono 11 kart i na każdej z nich 2 litery.

Drugi wiersz powstał z pierwszego przez zmianę kolejności niektórych kart, przy czym nie ujawniono dolnych liter. Który z poniższych układów liter może wystapić w dolnej linii drugiego wiersza?
A) ANJAMKILIOR
B) RLIIMKOJNAA
C) JANAMKILIRO
D) RAONJMILIKA
E) ANMAIKOLIRJ

Wykaż, że jeżeli między współczynnikami trójmianów 2 x + px + q i x 2 + mx + n zachodzi związek mp = 2(n + q ) , to przynajmniej jedno z równań x 2 + px + q = 0 lub x2 + mx + n = 0 ma rozwiązanie.

W równości KAN − GAR = OO każda litera oznacza pewną cyfrę (różne litery odpowiadają różnym cyfrom). Jaka jest największa możliwa wartość liczby KAN ?
A) 987 B) 876 C) 865 D) 864 E) 785

Ile liczb trzycyfrowych ma sumę cyfr równą 4?
A) 11 B) 6 C) 9 D) 8 E) 10

Grzyby w lesie zawierają 90% wody w swojej masie, a po wysuszeniu zawierają 15% wody w swojej masie . Oblicz ile trzeba zebrać grzybów aby uzyskać 0,5 kg suszonych grzybów.

Wielomian 3 2004 W (x) = (2x + 3x − 6) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.

Podstawy trapezu mają długości i ( a > b ). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90∘ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy