Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 16

/Konkursy

Wykaż, że jeśli jest liczbą nieparzystą, to liczba 3 a − a jest podzielna przez 12.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 2 n(n + 3n + 2) jest podzielna przez 6.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba 3 2 n + 3n − 28n jest podzielna przez 6.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3 5n − 5n jest podzielna przez 30.

Dane są dwa zbiory liczb czterocyfrowych: zbiór tych liczb, których iloczyn cyfr jest równy 25, oraz zbiór tych liczb, których iloczyn cyfr jest równy 15. Do którego zbioru należy więcej liczb i ile razy więcej liczb jest w tym zbiorze?
A) Zbiór ma 5 3 razy więcej elementów niż zbiór .
B) Zbiór ma 2 razy więcej elementów niż zbiór .
C) Zbiór ma 5 3 razy więcej elementów niż zbiór .
D) Zbiór ma 2 razy więcej elementów niż zbiór .
E) Oba zbiory mają po tyle samo elemantów

Wykaż, że jeżeli wielomian 3 W (x) = x + ax + b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a3 + 27b 2 = 0 .

Pewien chłopiec w czwartki i piątki zawsze mówi prawdę, we wtorki zawsze kłamie, a w pozostałe dni tygodnia udziela odpowiedzi losowo, to znaczy czasem kłamie, a czasem mówi prawdę. Przez siedem kolejnych dni pytano go, jak ma na imię. Podczas pierwszych sześciu dni chłopiec udzielił następujących odpowiedzi, w takiej oto kolejności: Jan , Robert, Jan, Robert, Piotr, Robert. Jakiej odpowiedzi udzielił siódmego dnia?
A) Jan B) Robert C) Piotr D) Kasia E) Inna odpowiedź

Bieg maratoński rozgrywany jest na dystansie 42,196 km. Jarek wystartował do tego biegu o godzinie 13:37, a do mety dobiegł o godzinie 16:18. W ciągu ilu minut Jarek pokonał tę trasę?
A) 131 B) 91 C) 151 D) 185 E) 161

Na osi liczbowej zaznaczono liczby 2006 i 6002. Liczbą jednakowo odległą od nich jest
A) 3998 B) 4000 C) 4002 D) 4004 E) 4006

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność

∘ -------- ∘ -------- 1 1 1 1 1 1 --+ ---⋅ --+ ---− √---- ≥ ---. x xy y xy xy xy

Kangurowa maszyna licząca może wykonać następujące operacje: pomnożyć daną liczbę przez 2 lub przez 3 albo podnieść daną liczbę do potęgi drugiej lub trzeciej. Którą z poniższych liczb możemy otrzymać, jeżeli maszyna rozpocznie działanie na liczbie 15 i wykona 5 operacji, kolejno na otrzymanych wcześniej wynikach?
A) 8 5 6 2 ⋅3 ⋅ 5 B) 8 4 2 2 ⋅ 3 ⋅5 C) 23 ⋅33 ⋅5 3 D) 26 ⋅36 ⋅5 4 E) 2⋅ 32 ⋅56

Liczbę pierwszą nazywamy specjalną jeżeli jest jednocyfrową liczbą pierwszą albo liczbą pierwszą o większej liczbie cyfr, ale taką, że po skreśleniu dowolnej skrajnej cyfry zawsze otrzymamy specjalną liczbę pierwszą. Ile jest specjalnych liczb pierwszych?
A) 4 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11

Kwadrat o boku długości 10 „toczymy” bez poślizgu wzdłuż prostej (patrz rysunek) tak długo, aż punkt ponownie znajdzie się na tej prostej. Jaka jest długość drogi, którą zakreślił punkt ?

A) 10π B) √ -- 5π + 5π 2 C) √ -- 10π + 5π 2 D) √ -- 5π + 10π 2 E) √ -- 10π + 10π 2

Ile razy od godziny 00:00 do godziny 23:59 zegarek elektroniczny pokaże wszystkie cyfry 2, 0, 0, 6 (w dowolnej kolejności)?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw oraz AKKD- = pq . Oblicz długość odcinka .

W maratonie ulicznym udział wzięło 2009 zawodników. Liczba zawodników pokonanych przez Piotra, startującego w tym maratonie, okazała się trzy razy większa niż liczba zawodników, z którymi Piotr przegrał. Które miejsce zajął Piotr w tym maratonie?
A) 503 B) 501 C) 500 D) 1503 E) 1507

Która z poniższych liczb jest największa?
A) 200 9 B) 2+ 0 + 0 + 9 C) 200 − 9 D) 20 0⋅9 E) 200 + 9

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej liczba 6 4 2 k − 2k + k jest podzielna przez 36.

Odcinek jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Z punktu będącego środkiem kwadratu KLMN (patrz rysunek) prowadzimy odcinki , , i do boków tak, że OA ⊥ OB i OC ⊥ OD . Ile jest równe pole zacieniowanej części kwadratu, jeśli bok kwadratu ma długość 2?

A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 2,25 E) zależy od wyboru punktów B i C

W każdym z siedmiu kolejnych lat, zawsze 27 marca, urodził się jeden krasnoludek. Trzy najmłodsze krasnoludki mają razem 42 lata. Ile lat mają razem trzy najstarsze?
A) 51 B) 54 C) 57 D) 60 E) 63

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków i w punktach i odpowiednio. Na bokach i tego trójkąta wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).