Na rysunku obok punkty 
są współliniowe oraz 
i 
. Wówczas miara kąta 
jest równa
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
/Konkursy
Powierzchnia bryły narysowanej obok składa się z 6 ścian trójkątnych. W każdym wierzchołku bryły umieszczono liczbę tak, by sumy liczb umieszczonych w wierzchołkach danej ściany były jednakowe dla wszystkich ścian. Dwie liczby 3 i 6 są zaznaczone na rysunku. Ile wynosi suma wszystkich liczb umieszczonych w wierzchołkach?
A) 9 B) 12 C) 17 D) 18 E) 24
Każdy z czterech kwadratów na rysunku ma bok długości 1. Jaka jest długość odcinka 
?
A) 5 B) 
C) 
D) 
E) Inna odpowiedź
Na bokach 
i 
trójkąta 
wybrano odpowiednio punkty 
i 
. Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach 
i 
są styczne, to punkt 
leży na okręgu opisanym na trójkącie 
.
Ramiona kąta ostrego o mierze 
przecięto prostą 
prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o 
od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej 
. Oblicz odległość środków tych okręgów.
Trzema cięciami zaznaczonymi na rysunku podzielono duży sześcian na osiem prostopadłościanów. Ile jest równy stosunek sumy pól powierzchni tych ośmiu prostopadłościanów do pola powierzchni sześcianu?
A) 1:1 B) 4:3 C) 3:2 D) 2:1 E) 4:1
Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?
Wykaż, że równanie 
nie ma rozwiązań całkowitych.
Ile jest liczb naturalnych 
, dla których największy spośród jej dzielników naturalnych różnych od 1 i 
jest 45 razy większy od najmniejszego spośród tych dzielników?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Więcej niż 3.
W kwiaciarni są 102 róże, w tym: 24 białe, 42 czerwone i 36 żółtych. Jaka jest największa liczba jednakowych bukietów, które można ułożyć ze wszystkich róż?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
Czworokąty 
i 
są kwadratami. Udowodnij, że 
.
Jaką najmniejszą liczbę małych kwadracików należy zacieniować na rysunku obok, aby powstała figura miała oś symetrii?
A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3
- Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa
. - Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa
. - Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego
–kąta.
Na rysunku obok przedstawione są dwa półokręgi oraz cięciwa 
większego półokręgu, która jest równoległa do 
i styczna do mniejszego półokręgu. Ile wynosi pole zacieniowanego obszaru, jeżeli 
?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Za mało danych by to wyliczyć
Pole trapezu jest równe 
, a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Okrąg podzielono na cztery łuki o długościach 2, 5, 6 i 
. Kąt środkowy oparty na łuku długości 2 ma miarę 
. Jaką wartość ma 
.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
W pięciu pudełkach znajdują się karty oznaczone literami A, E, I, O, U, jak pokazano na rysunku. Paweł powyjmował z pudełek niektóre karty tak, że w każdym z nich została jedna karta, przy czym w każdym z inną literą. Która karta pozostała w pudełku 2?
A) A B) E C) I D) O E) U
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej 
i każdej liczby rzeczywistej 
prawdziwa jest nierówność
Ukryj
Podobne zadania
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej 
i każdej liczby rzeczywistej 
prawdziwa jest nierówność
Wykaż, że jeżeli 
są długościami boków trójkąta to 
.
Niech 
oznacza pole obszaru zakreskowanego liniami pionowymi i niech 
będzie polem zakreskowanej figury. Średnice kół wynoszą odpowiednio 6, 4, 4 i 2. Wówczas
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
