Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 28

/Konkursy

Kwadrat podzielono na 2009 kwadratów, których długości boków są liczbami całkowitymi. Jaką najmniejszą długość może mieć bok dzielonego kwadratu?
A) 44
B) 45
C) 46
D) 503
E) Nie można kwadratu podzielić na 2009 takich kwadratów.

Z którego z poniższych kawałków papieru można skleić pudełko, którego kształt przedstawiono na rysunku obok?

Jeżeli iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy 5 2 3 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 , to ich suma
A) może być podzielna przez 8
B) może być podzielna przez 3
C) może być podzielna przez 5
D) może być podzielna przez 49
E) nie może być podzielna przez żadną z liczb 8, 3, 5, 49

Uzupełniamy tablicę wpisując w każde pole liczbę 0 albo 1, w taki sposób, aby sumy liczb każdego wiersza i każdej kolumny były równe 2. Jakie są wartości i ?

A) x = 1 , y = 1 B) x = 1 , y = 0 C) x = 0 , y = 1 D) x = 0 , y = 0 E) Nie można tego ustalić

Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 31 2 ?

Aby otrzymać liczbę 8 8 , liczbę 4 4 należy podnieść do potęgi
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 16

Uzasadnić, że prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+-1) + 1 2 obszarów.

Punkt leży na ramieniu trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD . Udowodnij, że ∡AED = ∡BAE + ∡CDE .

Piotr pokonuje na rowerze trasę z miasta do miasta ze stałą prędkością. Gdyby zwiększył prędkość o 3m /s , to przybyłby do w czasie 3 razy krótszym. Ile razy krócej będzie jechał z do , jeżeli zwiększy prędkość o 6m /s ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 4,5 E) 8

Która z poniższych liczb nie może być wartością wyrażenia √ -- x + x , gdzie jest liczbą całkowitą?
A) 870 B) 110 C) 90 D) 60 E) 30

Ile liczb trzycyfrowych podzielnych przez 9 ma następującą własność: suma cyfr ilorazu tej liczby przez 9 jest o 9 mniejsza od sumy jej cyfr?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 11

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe i . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę .

Wyraź w zależności od wielkości i .
Wyraź w zależności od wielkości i .
Wykaż, że jeśli , to .

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę ∘ 68 . W trójkącie tym poprowadzono dwusieczne jego kątów wewnętrznych. Ile stopni ma miara kąta zaznaczonego na rysunku znakiem zapytania?

A) 1 20∘ B) 124∘ C) 12 8∘ D) 13 2∘ E) 136∘

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.

Ciąg cyfr powstał przez napisanie 2009 razy liczby 2009. Suma wszystkich cyfr nieparzystych w tym ciągu, które znajdują się bezpośrednio przed cyfrą parzystą, jest równa
A) 2 B) 9 C) 4018 D) 18072 E) 18081

Mirek ma 10 kart. Na każdej karcie jest napisana jedna z liczb: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 48, 53, 68, przy czym na każdej karcie jest inna liczba. Jaka jest najmniejsza liczba kart, które powinien wybrać Mirek, aby otrzymać sumę równą 100?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) To jest niemożliwe

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC . Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC |2 − |AC |2 = |AB |⋅|AC | .

Średnica i cięciwa okręgu o środku i promieniu przecinają się w punkcie takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa , to miara kąta ASD jest równa .

Punkt jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt jest punktem wspólnym przekątnej i wysokości opuszczonej na dłuższą podstawę . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .

Strona 28 z 29