Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 28

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

Jaką najmniejszą liczbę małych kwadracików należy zacieniować na rysunku obok, aby powstała ﬁgura miała oś symetrii?

A) 4 B) 6 C) 5 D) 2 E) 3

Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa .
Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa .
Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego –kąta.

Na rysunku obok przedstawione są dwa półokręgi oraz cięciwa większego półokręgu, która jest równoległa do i styczna do mniejszego półokręgu. Ile wynosi pole zacieniowanego obszaru, jeżeli |MN | = 4 ?

A) B) 1,5π C) D) 3 π E) Za mało danych by to wyliczyć

Pole trapezu jest równe , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Okrąg podzielono na cztery łuki o długościach 2, 5, 6 i . Kąt środkowy oparty na łuku długości 2 ma miarę 30∘ . Jaką wartość ma .

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

W pięciu pudełkach znajdują się karty oznaczone literami A, E, I, O, U, jak pokazano na rysunku. Paweł powyjmował z pudełek niektóre karty tak, że w każdym z nich została jedna karta, przy czym w każdym z inną literą. Która karta pozostała w pudełku 2?

A) A B) E C) I D) O E) U

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

x(x − 1 )+ y (y− 1) ≥ xy − 1.

Wykaż, że jeżeli x,y,z są długościami boków trójkąta to √ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2 .

Niech oznacza pole obszaru zakreskowanego liniami pionowymi i niech będzie polem zakreskowanej ﬁgury. Średnice kół wynoszą odpowiednio 6, 4, 4 i 2. Wówczas

A) 2P = S B) 3P = 2S C) P = S D) 2P = 3S E) P = 2S

Kwadrat podzielono na 2009 kwadratów, których długości boków są liczbami całkowitymi. Jaką najmniejszą długość może mieć bok dzielonego kwadratu?
A) 44
B) 45
C) 46
D) 503
E) Nie można kwadratu podzielić na 2009 takich kwadratów.

Z którego z poniższych kawałków papieru można skleić pudełko, którego kształt przedstawiono na rysunku obok?

Jeżeli iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy 5 2 3 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 , to ich suma
A) może być podzielna przez 8
B) może być podzielna przez 3
C) może być podzielna przez 5
D) może być podzielna przez 49
E) nie może być podzielna przez żadną z liczb 8, 3, 5, 49

Uzupełniamy tablicę wpisując w każde pole liczbę 0 albo 1, w taki sposób, aby sumy liczb każdego wiersza i każdej kolumny były równe 2. Jakie są wartości i ?

A) x = 1 , y = 1 B) x = 1 , y = 0 C) x = 0 , y = 1 D) x = 0 , y = 0 E) Nie można tego ustalić

Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 31 2 ?

Aby otrzymać liczbę 8 8 , liczbę 4 4 należy podnieść do potęgi
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 16

Uzasadnić, że prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+-1) + 1 2 obszarów.

Punkt leży na ramieniu trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD . Udowodnij, że ∡AED = ∡BAE + ∡CDE .

Piotr pokonuje na rowerze trasę z miasta do miasta ze stałą prędkością. Gdyby zwiększył prędkość o 3m /s , to przybyłby do w czasie 3 razy krótszym. Ile razy krócej będzie jechał z do , jeżeli zwiększy prędkość o 6m /s ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 4,5 E) 8

Która z poniższych liczb nie może być wartością wyrażenia √ -- x + x , gdzie jest liczbą całkowitą?
A) 870 B) 110 C) 90 D) 60 E) 30

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy