Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Udowodnij...

Wyszukiwanie zadań

Na bokach AB , AD i BC rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K ,L i M w ten sposób, że odcinki KL i KM są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek LM przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę ∘ |∡A | = 6 0 . Na bokach AB i BC wybrano punkty K i L w ten sposób, że |AK | = |BL | . Uzasadnij, że trójkąt KLD jest trójkątem równobocznym.

Na bokach AB i AD rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty M i L w ten sposób, że |AL | = |AM | = 35|AB | . Odcinek LM jest styczny do okręgu wpisanego w romb ABCD . Punkt K jest punktem styczności okręgu wpisanego w ten romb z bokiem AD (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |AK | |KD-| = 241 .

Na bokach AD , AB i BC rombu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że pole czworokąta KMCD stanowi połowę pola rombu.

PIC

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S . Punkty K i M leżą na przekątnej AC tak, że |SK | = m1 ⋅|SA | i |SM | = 1m|SC | . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL | = -1|BS | m i |DN | = 1-|DS | m (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli stosunek pola czworokąta KLMN do pola rombu ABCD jest równy 1:4, to m = 2 .

PIC

Wykaż, że środki boków rombu są wierzchołkami prostokąta.

Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S . Punkt K jest takim punktem boku AB , że odcinek DK jest wysokością rombu (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli trójkąty DKB i CSB są przystające, to punkt K jest środkiem odcinka AB .

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę ∘ 60 . Na bokach AB i AD tego rombu  wybrano punkty – odpowiednio – E i F takie, że |BE | = |AF | = 13|AB | . Odcinki BF i DE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie BCD .

W romb o boku a wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym α (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa 2+√2a2s−in2αcosα- .