Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty C i W przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie D . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Obwód trójkąta ABC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta KLM o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC . Punkt S jest środkiem odcinka BD . Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2a 3 .

*Ukryj

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt D na jego boku AB taki, że  2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BE do boku AC . Punkt P jest punktem wspólnym odcinków CD i BE . Wykaż, że punkt P jest środkiem odcinka BE .

W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

*Ukryj

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .


PIC


Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Wewnątrz trójąta ABC obrano punkt P odległy od prostych BC ,CA i AB odpowiednio o x,y ,z . Wykaż że

 2 xyz ≤ 2S--, 27R

gdzie S jest polem trójkąta, a R promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów P zachodzi równość?

Odcinek AS jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek A z punktem E na boku BC takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku BC trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe S .

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC . Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC |2 − |AC |2 = |AB |⋅|AC | .