Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Różne

Wyszukiwanie zadań

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 12 0 . Na bokach tego trójkąta zbudowano trójkąty równoboczne ABM , BCK i CAL (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

  • Wykaż, że |AK | = |BL | = |CM | .

  • Wykaż, że proste AK , BL i CM przecinają się w jednym punkcie (jest to tzw. punkt Torricellego-Fermata).

Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty C i W przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie D . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Obwód trójkąta ABC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta KLM o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC . Punkt S jest środkiem odcinka BD . Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2a 3 .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt D na jego boku AB taki, że 2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BE do boku AC . Punkt P jest punktem wspólnym odcinków CD i BE . Wykaż, że punkt P jest środkiem odcinka BE .

W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

Ukryj Podobne zadania

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .

PIC

Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą od ∘ 120 . Wyznacz taki punkt P wewnątrz trójkąta ABC , dla którego suma |PA |+ |P B| + |PC | jest najmniejsza możliwa.

ZINFO-FIGURE

Wewnątrz trójąta ABC obrano punkt P odległy od prostych BC ,CA i AB odpowiednio o x,y ,z . Wykaż że

2 xyz ≤ 2S--, 27R

gdzie S jest polem trójkąta, a R promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów P zachodzi równość?

Odcinek AS jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 120 . Udowodnij, że wewnątrz trójkąta ABC istnieje punkt P taki, że

|∡AP B| = |∡BP C| = |∡CPA | = 120∘.

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek A z punktem E na boku BC takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku BC trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe S .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

|AC |2 = |BC |2 + |AB |⋅|BC |.