Kąty wpisane/Okrąg i koło - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek . Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkty i poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio i (punkty A ,B ,C,D i są współliniowe).

Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: A ,A 1,A 2,A 3,A 4 , że

|∡A 1AA 2| = |∡A 2AA 3| = |∡A 3AA 4| = 45∘.

Udowodnij, że punkty A 1,A 2,A 3,A 4 są wierzchołkami kwadratu.

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Oblicz miarę zaznaczonego kąta ∡ABD jeśli ∡ACB = α .

Średnica i cięciwa okręgu o środku i promieniu przecinają się w punkcie takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa , to miara kąta ASD jest równa .