Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu
. Na przedłużeniu cięciwy
poza punkt
odłożono odcinek
. Przez punkty
i
poprowadzono prostą. Prosta
przecina dany okrąg w punktach
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta
jest trzy razy większa od miary kąta
, to
.
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkty
i
poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach
tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że
.
Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio
i
(punkty
i
są współliniowe).
Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt
leży na zewnętrznym półokręgu, punkty
i
są współliniowe. Udowodnij, że
.
Na okręgu o środku wybrano punkty
i
w ten sposób, że prosta
zawiera punkt
, a proste
i
przecinają się w punkcie
. Punkt
jest punktem wspólnym prostych
i
. Wykaż, że proste
i
są prostopadłe.
Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: , że
Udowodnij, że punkty są wierzchołkami kwadratu.
Prosta jest styczna do okręgu w punkcie
. Oblicz miarę zaznaczonego kąta
jeśli
.
Średnica i cięciwa
okręgu o środku
i promieniu
przecinają się w punkcie
takim, że
. Wykaż, że
.
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu
. Na przedłużeniu cięciwy
poza punkt
odłożono odcinek
równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty
i
poprowadzono prostą. Prosta
przecina dany okrąg w punktach
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta
jest równa
, to miara kąta
jest równa
.