Na dowodzenie/Szereg geometryczny - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Na dowodzenie

Na jednym z ramion kąta ostrego o wierzchołku i mierze wybrano punkty A 1,A 2,A3,... , a na drugim ramieniu punkty B1,B 2,B3,... w ten sposób, że |OA 1| = a , AiBi ⊥ OB 1 oraz BiAi +1 ⊥ OA 1 dla wszystkich i ≥ 1 .

Wykaż, że długość nieskończonej łamanej A 1B 1A2B 2A 3B 3... jest równa --aα tg 2 .

Wykaż, że zbiór ( 1 ) A = − 2;1 ∪ (1;+ ∞ ) jest zbiorem wartości funkcji

--x--- ----x---- ---x----- f(x ) = x − 2 + (x − 2 )2 + (x − 2)3 + ⋅⋅⋅

Wykaż, że suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierwszy wyraz jest ujemny.

Dany jest okrąg o promieniu . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy , wewnątrz okręgu o 2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Wykaż, że suma długości okręgów o2017,o2018,...,o20160 jest mniejsza od długości okręgu o2016 .

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , który zawiera zarówno wyrazy dodatnie, jak i ujemne, w którym a1 = 2 , oraz drugi, czwarty i piąty wyraz są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (an ) jest równa sumie kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu.

Na płaszczyźnie dany jest nieskończony ciąg (Tn) , dla n ≥ 1 , równoramiennych trójkątów prostokątnych. Pole trójkąta Tn +2 jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta dla n ≥ 1 . Uzasadnij, że suma pól trójkątów T 1 i T 2 jest równa sumie pól wszystkich pozostałych trójkątów.

Ukryj Podobne zadania

Na płaszczyźnie dany jest nieskończony ciąg (Tn) , dla n ≥ 1 , trójkątów równobocznych. Pole trójkąta Tn+2 jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta dla n ≥ 1 . Uzasadnij, że suma pól trójkątów i T 2 jest równa sumie pól wszystkich pozostałych trójkątów.