Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) B)
C)
D) 7
/Szkoła średnia
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy mniejszy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) B)
C)
D) 7
W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od .
Dziedziną funkcji jest przedział
. Zatem dziedziną funkcji
jest zbiór
A) B)
C)
D)
Dziedziną funkcji jest przedział
. Zatem dziedziną funkcji
jest przedział
A) B)
C)
D)
Dziedziną funkcji jest przedział
. Zatem dziedziną funkcji
jest zbiór
A) B)
C)
D)
Funkcja każdej liczbie naturalnej ze zbioru
przyporządkowywuje resztę z dzielenia tej liczby przez 3. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór
A) B)
C)
D)
Funkcja każdej liczbie naturalnej ze zbioru
przyporządkowywuje resztę z dzielenia tej liczby przez 5. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór
A) B)
C)
D)
Funkcja każdej liczbie naturalnej ze zbioru
przyporządkowywuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór
A) B)
C)
D)
Dla jakich wartości parametru równanie
opisuje okrąg?
- Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.
- Dla jakich wartości parametru
okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu
?
Rozwiąż nierówność .
Wykaż, że istnieje liczba dodatnia , dla której
.
Rozwiąż równanie

Rozwiąż równanie .
Rozwiąż równanie .
Rozwiąż równanie .
Rozwiąż równanie .
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
(patrz rysunek).
Krawędź jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu
od krawędzi
jest równa
, a kąt dwuścienny między ścianami
i
ma miarę
, gdzie
. Oblicz:
-
odległość punktu
od krawędzi
-
wysokość tego ostrosłupa.
W pewnym zakładzie pracy zależność przychodów ze sprzedaży od wielkości produkcji wyraża w przybliżeniu wzór , gdzie
oznacza liczbę sztuk wyprodukowanego towaru, a koszty produkcji, w złotych, określa zależność
.
- Napisz wzór funkcji
- zależności zysku zakładu od wielkości produkcji, jeśli wiadomo, że zysk jest różnicą między przychodem zakładu a kosztami produkcji.
- Przy jakiej wielkości produkcji zysk wynosi 0?
- Jaka wielkość produkcji zapewnia największy zysk? Jaki jest koszt produkcji, gdy zysk jest największy?
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że przychód (w złotych) z tygodniowej sprzedaży
wiatraków można opisać funkcją

a koszt (w złotych) produkcji
wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:
-
przychód
(w złotych) ze sprzedaży
krzeseł można opisać funkcją
-
koszt
(w złotych) produkcji
krzeseł dziennie można opisać funkcją
Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Zakład ślusarski produkuje ozdobne kwietniki. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że przychód (w złotych) z tygodniowej sprzedaży
kwietników można opisać funkcją

a koszt (w złotych) produkcji
kwietników w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 250 kwietników. Oblicz, ile tygodniowo kwietników należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Wykaż, korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, że liczba jest niewymierna.
Wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste.
- Oblicz sumę odwrotności tych pierwiastków.
- Ustal, ile jest pierwiastków dodatnich.
- Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków.
- Oblicz sumę kwadratów odwrotności tych pierwiastków.
Wykaż, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie które jest liczbą wymierną.
W ostrosłupie podstawa
jest trójkątem prostokątnym,
. Sinus jednego z kątów ostrych podstawy jest równy 0,6 . Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10 cm. Wysokość
ostrosłupa ma długość 24 cm. Oblicz:
- objętość ostrosłupa;
- tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa, zawierającej przeciwprostokątną podstawy, do płaszczyzny podstawy.
Jeżeli , to liczba
należy do przedziału:
A) B)
C)
D)
Jeżeli , to liczba
należy do przedziału:
A) B)
C)
D)
Jeżeli to liczba
należy do przedziału
A) B)
C)
D)
Przez punkt krawędzi bocznej
graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
o krawędzi podstawy równej
poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem
, a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem
(zobacz rysunek).
Udowodnij, że objętość ostrosłupa jest równa

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.
Rozwiąż równanie

w przedziale .