Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu
. Na przedłużeniu cięciwy
poza punkt
odłożono odcinek
. Przez punkty
i
poprowadzono prostą. Prosta
przecina dany okrąg w punktach
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta
jest trzy razy większa od miary kąta
, to
.
Punkty dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt
jest punktem przecięcia cięciw
i
.
Udowodnij, że .
Punkty dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt
jest punktem przecięcia cięciw
i
.
Udowodnij, że .
Punkty dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt
jest punktem przecięcia cięciw
i
.
Udowodnij, że trójkąt jest równoramienny.
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkt
pierwszego okręgu prowadzimy proste
i
, przecinające drugi okrąg w punktach
i
. Udowodnij, że styczna w punkcie
do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej
.
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkt
pierwszego okręgu prowadzimy proste
i
, przecinające drugi okrąg w punktach
i
. Udowodnij, że styczna w punkcie
do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej
.
Środek okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym
, o ramionach
i
, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że miara kąta wypukłego jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego
.
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkty
i
poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach
tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że
.
Na okręgu o środku wybrano punkty
w ten sposób, że odcinek
jest średnicą okręgu oraz
(zobacz rysunek).
Wykaż, że proste i
są prostopadłe.
Wierzchołki i
trójkąta
leżą na okręgu o promieniu
, a środek
tego okręgu leży na boku
trójkąta (zobacz rysunek). Prosta
jest styczna do tego okręgu w punkcie
, a ponadto
. Wykaż, że kąt
ma miarę
.
Wierzchołki i
trójkąta
leżą na okręgu o promieniu
, a środek
tego okręgu leży na boku
trójkąta (zobacz rysunek). Prosta
jest styczna do tego okręgu w punkcie
, a ponadto
. Wykaż, że kąt
ma miarę
.
Wierzchołki i
trójkąta
leżą na okręgu o promieniu
, a środek
tego okręgu leży na boku
trójkąta (zobacz rysunek). Prosta
jest styczna do tego okręgu w punkcie
, a ponadto
. Wykaż, że
.
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio
i
(punkty
i
są współliniowe).
Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt
leży na zewnętrznym półokręgu, punkty
i
są współliniowe. Udowodnij, że
.
Dany jest okrąg o środku w punkcie . Prosta
jest styczna do tego okręgu w punkcie
, a środek
tego okręgu leży na odcinku
(zob. rysunek). Udowodnij, że kąt
ma miarę
.
Na okręgu o środku wybrano punkty
i
w ten sposób, że prosta
zawiera punkt
, a proste
i
przecinają się w punkcie
. Punkt
jest punktem wspólnym prostych
i
. Wykaż, że proste
i
są prostopadłe.
Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach
i
(
). Wykaż, że kąt
jest prosty.
Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej
w punktach
i
odpowiednio (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
Średnica i cięciwa
okręgu o środku
i promieniu
przecinają się w punkcie
takim, że
. Wykaż, że
.
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu
. Na przedłużeniu cięciwy
poza punkt
odłożono odcinek
równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty
i
poprowadzono prostą. Prosta
przecina dany okrąg w punktach
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta
jest równa
, to miara kąta
jest równa
.