Kąty/Udowodnij/Okrąg i koło - zadania z matematyki

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Kąty

Wyszukiwanie zadań

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$ . Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ . Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ASD$ jest trzy razy większa od miary kąta $ACS$ , to $|BC | = r$ .

Rozwiązanie (2046368)

Punkty $P 1,P 2,P3,...,P23,P24$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P 11P 22$ i $P1P16$ .

Udowodnij, że $|∡P 16AP 11| = 60∘$ .

Rozwiązanie (2816233)

Ukryj

Punkty $P1,P 2,P3,...,P23,P24$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P9P20$ i $P6P 13$ .

Udowodnij, że trójkąt $AP 20P13$ jest równoramienny.

Rozwiązanie (5505058)

Punkty $P1,P 2,P3,...,P23,P24$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P5P21$ i $P1P 15$ .

Udowodnij, że $|∡P 15AP 21| = 75∘$ .

Rozwiązanie (9954073)

Dwa okręgi przecinają się w punktach $M$ i $N$ . Przez punkt $A$ pierwszego okręgu prowadzimy proste $AM$ i $AN$ , przecinające drugi okrąg w punktach $B$ i $C$ . Udowodnij, że styczna w punkcie $A$ do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej $BC$ .

Rozwiązanie (3157659)

Ukryj

Rozwiązanie (9630167)

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$ , o ramionach $AC$ i $BC$ , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego $ASB$ jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego $SBC$ .

Rozwiązanie (3170525)

Dwa okręgi przecinają się w punktach $K$ i $L$ . Przez punkty $K$ i $L$ poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach $A,B ,C,D$ tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że $AC ∥ BD$ .

Rozwiązanie (3599668)

Na okręgu o środku $S$ wybrano punkty $A ,B,C ,D,E$ w ten sposób, że odcinek $AB$ jest średnicą okręgu oraz $|∡BCD | = |∡BEC |$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że proste $AB$ i $CD$ są prostopadłe.

Rozwiązanie (3641661)

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$ , a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$ , a ponadto $√ -- |AC | = r 3$ . Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę $120∘$ .

Rozwiązanie (5166171)

Ukryj

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$ , a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$ , a ponadto $|∡ACB | = 12 0∘$ . Wykaż, że $|AC | = r√ 3-$ .

Rozwiązanie (5912638)

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$ , a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$ , a ponadto $|AC | = 2rco s20∘$ . Wykaż, że kąt $ABC$ ma miarę $50∘$ .

Rozwiązanie (5571066)

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku $O$ i średnicach odpowiednio $AB$ i $CD$ (punkty $A ,B ,C,D$ i $O$ są współliniowe).

Punkt $P$ leży na wewnętrznym półokręgu, punkt $R$ leży na zewnętrznym półokręgu, punkty $O ,P$ i $R$ są współliniowe. Udowodnij, że $|∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘$ .

Rozwiązanie (5266395)

Udowodnij, że jeżeli $O$ jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty $A ,B,C$ , to $β = 90 ∘ + α$ .

Rozwiązanie (5385644)

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ . Prosta $KL$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $L$ , a środek $O$ tego okręgu leży na odcinku $KM$ (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt $KML$ ma miarę $31∘$ .

Rozwiązanie (5482345)

Na okręgu o środku $S$ wybrano punkty $A ,B,C$ i $D$ w ten sposób, że prosta $AB$ zawiera punkt $S$ , a proste $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $E$ . Punkt $M$ jest punktem wspólnym prostych $AC$ i $BD$ . Wykaż, że proste $EM$ i $AB$ są prostopadłe.

Rozwiązanie (7065210)

Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.

Rozwiązanie (8544533)

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie $P$ . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ ( $A ⁄= B$ ). Wykaż, że kąt $∡AP B$ jest prosty.

Rozwiązanie (8898720)

Ukryj

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie $C$ oraz są styczne do prostej $k$ w punktach $A$ i $B$ odpowiednio (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Rozwiązanie (3067625)

Średnica $AB$ i cięciwa $CD$ okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ przecinają się w punkcie $E$ takim, że $|DE | = r$ . Wykaż, że $|∡AOC | = 3|∡AEC |$ .

Rozwiązanie (9900597)

Ukryj

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$ . Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $α$ , to miara kąta $ASD$ jest równa $3α$ .

Rozwiązanie (1561420)

Legalni bukmacherzy

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Linki sponsorowane