Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsze pole

Wyszukiwanie zadań

Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f (x) = − 23 ⋅x12 − 1 określonej dla x ⁄= 0 . Punkt C ma współrzędne (1,1) , a oś Oy jest osią symetrii tego trapezu (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz obwód tego trapezu ABCD , którego pole jest najmniejsze możliwe.

Rozważamy trójkąty ABC , w których A = (0,0), B = (m ,0) , gdzie m ∈ (4,+ ∞ ) , a wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = − 2x . Na boku BC tego trójkąta leży punkt D = (3,2) .

  • Wykaż, że dla m ∈ (4,+ ∞ ) pole P trójkąta ABC , jako funkcja zmiennej m , wyraża się wzorem
     2 P (m ) = -m---- m − 4
  • Oblicz tę wartość m , dla której funkcja P osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej BC , przy której funkcja P osiąga tę najmniejszą wartość.

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f (x) = 271x4 dla x ⁄= 0 . Punkty C i D leżą na wykresie funkcji g określonej wzorem g(x) = − 2x4 − 7 5 9 i są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka A , dla którego pole prostokąta ABCD jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.


PIC


W układzie współrzędnych dane są punkty A = (− 3,− 1) i B = (4,6 ) . Na wykresie funkcji  √ -- y = 3 x − 1 znajdź taki punkt C , dla którego pole trójkąta ABC jest najmniejsze.

Wyznacz wartość parametru m , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki AB i CD równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.

Na krzywej xy = 6 obrano punkty A (2,3) i B (6 ,1) . Znajdź na tej krzywej taki punkt C o ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f (x) = x94 dla x ⁄= 0 . Punkt C ma współrzędne ( ) 1 0,− 3 , a punkty A i B , są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B , dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.


PIC


Dana jest parabola o równaniu  2 y = −x + 9 . Na tej paraboli leży punkt P o dodatnich współrzędnych. Wyznacz współrzędne tego punktu tak, by styczna do paraboli w punkcie P ograniczała wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu.

Ukryj Podobne zadania

Dana jest funkcja  2 f(x ) = x − 1 określona dla x ∈ (− ∞ ,0) . W jakim punkcie wykresu tej funkcji należy poprowadzić styczną tak, aby trójkąt ograniczony tą styczną i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole? Oblicz to pole.

spinner