Geometria/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria

Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeśli okręgi te są styczne zewnętrznie, to w trapez ten można wpisać okrąg.

Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i równoległą do krawędzi bocznej rozłącznej z tą przekątną wynosi . Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą środki dwóch sąsiednich boków podstawy i środek wysokości ostrosłupa.

Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | .

Odcinek dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD | = |CD | oraz |AB | = |BD | . Udowodnij, że |∡ADC | = 5⋅ |∡ACD | .

Ukryj Podobne zadania

Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego, w którym |AC | = |BC | . Odcinek dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne takie, że |AD | = |CD | i |AB | = |BD | . Wykaż, że |∡ADC | = 5|∡ACD | .

Kąty w trójkącie mają miary: α, β = 2α, γ = 4α . Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta spełniają równość: 1a − 1b − 1c = 0 .

Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE ,CBGH i ACKL . Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach i ( A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej w punktach i odpowiednio (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe .

Przekątna rombu ABCD przecina jego wysokość , poprowadzoną na bok , w punkcie . Oblicz pole rombu ABCD , jeśli wiadomo, że ---- |DE | = √ 31 3 oraz |CF|-= 13- |FE| 5 .

Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.

Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Ukryj Podobne zadania

Trapez równoramienny ABCD o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu . Wykaż, że 4r2 = |AB |⋅|CD | .

W trójkacie ABC dwusieczna kąta ACB przecina bok w punkcie . Długosci boków i są równe odpowiednio i , a długość odcinka jest równa . Wykaż, że d < 2ab- a+b .

W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

Ukryj Podobne zadania

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4 cm.

Na boku trójkąta ABC wybrano punkt tak, by |∡CAD | = |∡ABC | . Odcinek jest dwusieczną kąta DAB . Udowodnij, że |CE | = |AC | .

W trójkącie a : b : c = 4 : 5 : 6 . Wykaż, że w tym trójkącie γ = 2α .

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy √ -- 8 − 4 2 .

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i ( R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach i odpowiednio ( S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych. Oblicz długość odcinka .

Boki trójkąta A1B 1C1 są styczne do okręgu w punktach A , B, C , a kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe α, β, γ . Oblicz miary kątów trójkąta A 1B1C 1 .