Geometria/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria

Dla jakich wartości parametru równanie 2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 opisuje okrąg?

Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.
Dla jakich wartości parametru okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu ?

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Krawędź jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu od krawędzi jest równa , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

odległość punktu od krawędzi
wysokość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem prostokątnym, |∡ACB | = 90∘ . Sinus jednego z kątów ostrych podstawy jest równy 0,6 . Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10 cm. Wysokość ostrosłupa ma długość 24 cm. Oblicz:

objętość ostrosłupa;
tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa, zawierającej przeciwprostokątną podstawy, do płaszczyzny podstawy.

Przez punkt krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF o krawędzi podstawy równej poprowadzono dwie płaszczyzny. Jedna przechodzi przez przeciwległą krawędź dolnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem , a druga przechodzi przez przeciwległą krawędź górnej podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem (zobacz rysunek).

Udowodnij, że objętość ostrosłupa BCF EP jest równa

a3sin(α-+-β)- 4 cosα cosβ

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy 512- . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Ukryj Podobne zadania

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a tangens jednego z kątów ostrych jest równy . Oblicz pole tego trójkąta oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej powiększonego sześcianu.

Trzy różne punkty A , B i leżą na okręgu o środku w punkcie . Odcinek jest średnicą tego okręgu. Styczne i do tego okręgu, odpowiednio w punktach i , przecinają się w punkcie (zobacz rysunek poniżej).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąty ACB i ASD są podobne.

Odległość wierzchołka sześcianu od przekątnej sześcianu (do której dany wierzchołek nie należy) jest równa 4 cm. Oblicz objętość sześcianu.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = (x − 3)2 + m , gdzie m ∈ R – parametr.

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = − 2 (x− m)2 − 4 , gdzie m ∈ R – parametr.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = 5 (x− m )2 + m , gdzie m ∈ R – parametr.

Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, jaki tworzą wierzchołki parabol o równaniu f(x) = − 12(x+ m )2 + 2m , gdzie m ∈ R – parametr.

Na rysunku przedstawiono bryłę, której podstawą jest kwadrat a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Wymiary bryły podane są na rysunku.

Oblicz objętość tej bryły.

W trójkącie ABC , gdzie |AC | = 2|AB | dane są B = (− 6,6) i C = (− 10,− 9) . Wyznacz współrzędne wierzchołka , jeżeli leży on na prostej 3y + x = 1 .

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz objętość ostrosłupa.

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) dane są punkty A = (2 ,8 ) oraz B = (10,2) . Symetralna odcinka przecina oś układu współrzędnych w punkcie . Oblicz współrzędne punktu oraz długość odcinka .

W trójkącie ABC dane są długości dwóch boków |AB | = 12 , |BC | = 8 oraz miara kąta |∡ABC | = 60∘ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu √ -- 2 3 i kącie ostrym ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 5√-3 2 i kącie ostrym ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu 3√-3 2 i kącie ostrym ∘ 30 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest boków i n ≥ 3 wyraża się wzorem Pn = n(n−3) 2 .

Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ABCD ma miarę ∘ 60 . Przekątna ma długość 6, a przekątna jest prostopadła do boku . Oblicz długości boków równoległoboku.