Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria

Wyszukiwanie zadań

Dany jest trójkąt równoboczny ABC , w którym |AB | = 1 . Na boku AC tego trójkąta wybrano taki punkt L , że |∡BLA | = 105∘ . Odcinek BL przecina wysokość CK trójkąta ABC w punkcie N (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka CN .

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a . Pole podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była największa?

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: |∡ADC | = |∡ABC | = 90∘ oraz |∡DCB | = 135∘ . Wykaż, że √- |DB-|= -2- |AC | 2 .

PIC

Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .

PIC

Mrówka przeszła po powierzchni sześcianu z wierzchołka A do wierzchołka będącego drugim końcem przekątnej sześcianu wychodzącej z wierzchołka A , przy czym była to droga najkrótsza. Narysuj siatkę sześcianu i oblicz odległość, jaką pokonała mrówka, jeżeli krawędź sześcianu ma długość √ -- 5 .

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy.

  • Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

  • Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło √ --- 36 1 5 .

Udowodnij, że jeżeli punkt D jest środkiem ciężkości trójkąta, to −→ −→ −→ → DA + DB + DC = 0 .

Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecina boki CA i CB odpowiednio w punktach E i D .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

PIC

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (1,− 3),C = (− 5,− 1) . Wyznacz obwód tego kwadratu.

Ukryj Podobne zadania

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu A = (3,1),C = (− 3,3) . Oblicz obwód tego kwadratu.

Na bokach AD i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty E i F w ten sposób, że AE = 1k i DF = m1 , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech S będzie punktem przecięcia odcinków AF i BE

PIC

  • Wykaż, że jeżeli trójkąt ABS jest prostokątny to k = m .
  • Oblicz cosinus kąta ASB jeżeli k = 3 i m = 2 .

Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta AOB oraz jego miarę, jeżeli O = (0,0), A = (8,0) oraz

  • B = (8,8)
  • B = (−8 ,8)
  • √ -- B = (−8 ,8 3)
  • √ -- B = (8 3,− 8)

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD , w którym boki AB i BC są prostopadłe. Dwusieczne kątów A i D przecinają się w punkcie S leżącym na boku BC . Wykaż, że |BS | = |SC | .

Punkty A = (− 1,− 5),B = (1,1),C = (− 3,5),D = (− 7,− 7) są wierzchołkami trapezu. Oblicz długość krótszej przekątnej tego trapezu.

Ukryj Podobne zadania

Punkty A = (− 5,− 1),B = (1,1),C = (5,− 3),D = (− 7,− 7) są wierzchołkami trapezu. Oblicz długość krótszej przekątnej tego trapezu.

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości a . Punkt P jest środkiem krawędzi CG tego sześcianu.

ZINFO-FIGURE

Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny zawierającej punkty B , D oraz P .

W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |BD | = |CE | oraz |DE | = 4 (zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa.

PIC

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ukryj Podobne zadania

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Na krawędziach bocznych AS i BS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |AD | = |BE | oraz |DE | = 6 (zobacz rysunek). Płaszczyzna CDE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej ABS ostrosłupa.

PIC

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku boków 1:3. Objętość bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą powierzchnię.

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek długości boków wynosi 2:3. Pole podstawy ostrosłupa jest równe 24 cm 2 . Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α = 30 ∘ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Ukryj Podobne zadania

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego stosunek długości boków wynosi 4:3. Pole podstawy ostrosłupa jest równe 48. Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 6 0∘ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Dany jest pięciokąt foremny ABCDE o boku długości a . Wiedząc, że √- cos72 ∘ = -5−-1 4

  • wykaż, że długość przekątnej pięciokąta ABCDE jest równa √ - 1+2-5a ;
  • oblicz długość promienia okręgu wpisanego w pięciokąt ABCDE .

Punkty A = (8,− 11) i B = (10,3) są końcami cięciwy okręgu o środku S . Napisz równanie prostej prostopadłej do tej tej cięciwy i przechodzącej przez punkt S .

Strona 2 z 112