Szkoła średnia - zadania z matematyki - Zadania.info, 1 (poziom ), strona 111

W trójkącie ABC , w którym |AC | = |BC | , na boku wybrano punkt taki, że |BD | = |CD | oraz |∡ACD | = 2 1∘ (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę
A) 57∘ B) 5 3∘ C) 51∘ D) 55∘

Dany jest ciąg (an) określony wzorem n 2−n-- an = (− 1) ⋅ n2 dla n ≥ 1 . Wówczas wyraz tego ciągu jest równy
A) − 235 B) 235 C) − -7 25 D) 7- 25

Ze zbioru liczb {1,2,3,4 ,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia , polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , przedstawiono wykres funkcji . Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu y = 2 ma obie współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f(x) ≤ 2 .

Wykaż, że liczba 100 99 98 6 − 2 ⋅6 + 10 ⋅6 jest podzielna przez 17.

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt leży na boku , a punkt – na boku tego trójkąta. Odcinek jest równoległy do boku i przechodzi przez środek wysokości trójkąta ABC (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka .

Sześciowyrazowy ciąg liczbowy (1 ,2,2x,x + 2,5,6) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa 4. Wynika stąd, że
A) x = 1 B) x = 32 C) x = 2 D) x = 8 3

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c i prawdziwa jest nierówność

∘ ------- ∘ ------- ac + bd ≤ a2 + b2 ⋅ c2 + d2.

Rozwiązaniem układu równań { x + 3y = 5 2x − y = 3 jest
A) { x = 2 y = 1 B) { x = 2 y = − 1 C) { x = 1 y = 2 D) { x = 1 y = − 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) środek okręgu o promieniu √ -- 5 leży na prostej o równaniu y = x + 1 . Przez punkt A = (1,2 ) , którego odległość od punktu jest większa od , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu . Rozważ wszystkie przypadki.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 2 (2n + 1) − 1 jest podzielna przez 8.

Punkty K = (4,− 10) i L = (b,2) są końcami odcinka . Pierwsza współrzędna środka odcinka jest równa (− 12) . Wynika stąd, że
A) b = − 2 8 B) b = − 14 C) b = − 24 D) b = − 10

Rozwiąż nierówność |2x − 5|− |x+ 4| ≤ 2− 2x .

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia