Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL , BCMN i CAOP (zobacz rysunek).

Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest pięć razy większe od pola trójkąta ABC , to suma pól kwadratów BCMN i CAOP też jest pięć razy większa od pola trójkąta ABC .

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku oraz |AB | = 2|AC | . Oblicz miarę kąta BAC .

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość √ -- 6 6 . Ramię jest o 30% krótsze od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.

W trójkącie ABC dane są kąt ∘ |∡ABC | = 12 0 , |AC | = 6 i |BC | = 3 . Dwusieczna kąta ∡ACB przecina bok w punkcie . Oblicz długość odcinka .

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |AC | = 3 i |BC | = 4 wpisano dwa przystające okręgi w ten sposób, że są one wzajemnie styczne oraz jeden z nich jest styczny do boków i , a drugi do boków i .

Oblicz długość promienia tych okręgów.

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

W trójkącie ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 70 połączono środek okręgu wpisanego z wierzchołkami i . Oblicz miarę kąta AOB .

W trójkącie ABC odcinek o końcach należących do boków odpowiednio i przecina środkową w punkcie , oraz odcinek jest równoległy do odcinka (patrz rysunek). Oblicz długość odcinka wiedząc, że |EG | = 2 i |F G| = 4 .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym przyprostokątna ma długość 6. Punkt jest środkiem przeciwprostokątnej , spodek wysokości leży między punktami i , a odległość między punktami i jest równa 7 (zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡BGF | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że |∡DEC | = |∡GF B | = 9 0∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta GBF .

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i takie, że DE ∥ BC . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkt taki, że |∡DF C | = 90∘ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt ADE jest podobny do trójkąta FBD .

W trójkącie równobocznym ABC obrano na boku taki punkt , że |BE | : |EC | = 1 : 2 . Oblicz tangens kąta ∡BAE .

Ukryj Podobne zadania

Na boku trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt taki, że |AD | : |DB | = 2 : 3 . Oblicz tangens kąta ACD .

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest równe 2 a .

ZINFO-FIGURE

Ukryj Podobne zadania

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

ZINFO-FIGURE

W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej punkt jest środkiem ramienia . Odcinek ma długość 5 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz obwód trójkąta ABC .

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 12 0 . Na bokach tego trójkąta zbudowano trójkąty równoboczne ABM , BCK i CAL (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że .
Wykaż, że proste , i przecinają się w jednym punkcie (jest to tzw. punkt Torricellego-Fermata).

Okrąg o promieniu 4 jest wpisany w trójkąt. Punkt styczności podzielił jeden z boków na odcinki o długości 6 i 8. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego, w którym odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej jest równa 5 cm.

W trójkącie ABC boki i są równej długości. Prosta jest prostopadła do podstawy tego trójkąta i przecina boki oraz w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED . Oblicz |CE| |EB| .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC boki i są równej długości. Prosta jest prostopadła do podstawy tego trójkąta i przecina boki oraz w punktach – odpowiednio – i . Oblicz stosunek pola czworokąta ADEC do pola trójkąta BED jeżeli |AD| |DB| = 7 .

W trójkącie ABC długości boków i są odpowiednio równe 4 i 6. Punkt jest środkiem odcinka , a długość środkowej trójkąta AMB jest równa 3. Oblicz długość boku .

Strona 2 z 24