Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi

Wyszukiwanie zadań

W ciągu geometrycznym (an) dane są iloraz 1 q = − 2 oraz suma

11 a8 + a9 + ⋅ ⋅⋅+ a18 = 5-(2-+-1) . 3⋅217

Oblicz a7 .

Uzasadnij, że jeśli miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to jeden z tych kątów ma miarę 60 ∘ .

Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2 i czwartym wyrazie równym a 4 = 6 . Ciąg (bn ) dla dowolnego n ≥ 1 spełnia warunek an + log3 bn = 0 . Oblicz granicę

lim (b1 + b3 + b5 + ... + b2n+1). n→ +∞

Dla jakich x ∈ R ∖ {2} , liczby 2 (x− 2) , 2 x − 4 , 2 2x + 9x− 2 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Dla znalezionej wartości x wyznacz ciąg i jego iloraz.

Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa 4∘ . Największy kąt ma miarę 172∘ .

  • Ile boków ma ten wielokąt?
  • Ile ma przekątnych?

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.

PIC

W nieskończonym rosnącym ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich, określonym dla n ≥ 1 , stosunek średniej geometrycznej trzech pierwszych wyrazów do średniej arytmetycznej tych wyrazów jest równy 1351 , a suma czterech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 468. Wyrazy a 1 i a3 ciągu (an) , są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego (bn) . Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów ciągu (bn) .
Uwaga: średnia geometryczna liczb a,b,c jest równa √ ---- 3 abc .

Dla każdego n ∈ N + wyrazy ciągu (an) spełniają dwa warunki 2 an + an+ 1 = −n-+187n+40 i an − an+1 = n−174- . Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania 2 3x − x+ m = 0 , gdzie m jest pewną ujemną liczbą rzeczywistą. Ciąg (an) określony jest wzorem an = (x1 + x2)n . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu.

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

( |{ a1 = 2 a2 = k |( an+2 3 = 3an dla n ≥ 1.
  • Wyznacz wartość k , jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym suma sześciu początkowych wyrazów jest równa − 3 64 .
  • Oblicz, dla jakiej liczby n suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 9842.

Dwie dowolne liczby rzeczywiste i ich suma tworzą ciąg arytmetyczny (niekoniecznie w takiej kolejności). Wykaż, że jedna z tych liczb jest dwukrotnością drugiej liczby lub, że liczby te są liczbami przeciwnymi.

W ciągu arytmetycznym mamy dane a1 = x ; a2 = 3x + y ; a4 = 5x − 2y− 1; a 6 = 17 . Niech Sn = a 1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an . Dla jakich n zachodzi równość Sn = 260 ?

Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie w następujący sposób

{ a1 = 3 an+1 = an + 2n + 3 dla n ≥ 1

Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych niż 2018.

Wartości funkcji f : D → R spełniają dla każdego x ∈ D następujące równanie

1 + f (x)+ (f(x))2 + (f(x))3 + ...= ----1----, 2x 2 − 3x

gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego.

  • Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji f .
  • Naszkicuj wykres funkcji f .

W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy 1, a ostatni − 15 . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu, jeśli wiadomo że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||S-−-Sn-|| | S | < 0,001, n

gdzie S n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a ) n .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an ) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 26, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 27. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | |S − Sn| ||-------|| < 0,00 01, Sn

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zbadaj, czy ciąg 2n-- an = n+1 jest arytmetyczny.

Na wykresie funkcji 2 f(x ) = x wybrano trzy różne punkty, których odcięte są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a rzędne kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wykaż, że odcięta co najmniej jednego z tych punktów jest liczbą niewymierną.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n , liczby √ -- √ --4n n √ -- 4n ( 3+ 2) ,2 ,( 6 − 2) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Strona 12 z 25